《2025年诚成教育学业评价九年级数学全一册人教版》

22. (6分)如图，抛物线$y = -x^{2}+bx + c$经过$A(-1,0)$，$B(3,0)$两点，交$y$轴于点$C$，$D$为抛物线的顶点，连接$BD$，$H$为$BD$的中点. 请解答下列问题:
(1)求抛物线的解析式及顶点$D$的坐标;
(2)在$y$轴上找一点$P$，使$PD + PH$的值最小，则$PD + PH$的最小值为______.

答案： 解：
(1) $\because$ 抛物线 $y = -x^2 + bx + c$ 过点 $A(-1,0)$，$B(3,0)$，
$\therefore\begin{cases}-1 - b + c = 0\\-9 + 3b + c = 0\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}b = 2\\c = 3\end{cases}$.
$\therefore$ 抛物线的解析式为 $y = -x^2 + 2x + 3$.
$\because y = -x^2 + 2x + 3 = -(x - 1)^2 + 4$，
$\therefore$ 顶点 $D(1,4)$.
(2) $\sqrt{13}$

23. (6分)如图，二次函数$y = ax^{2}+bx + c$的图象与$x$轴交于$A$，$B$两点，其中点$A$的坐标为$(-1,0)$，与$y$轴交于点$C$，点$C$的坐标为$(0,5)$，且抛物线经过点$(1,8)$，$M$为它的顶点.
(1)求抛物线的解析式;
(2)求$\triangle MCB$的面积

答案： 解：
(1) $\because$ 二次函数 $y = ax^2 + bx + c$ 的图象过点 $A(-1,0)$，$C(0,5)$，$(1,8)$，
$\therefore\begin{cases}a - b + c = 0\\c = 5\\a + b + c = 8\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}a = -1\\b = 4\\c = 5\end{cases}$.
$\therefore$ 抛物线的解析式为 $y = -x^2 + 4x + 5$.
(2) 连接 $OM$.
由二次函数的解析式可知 $M(2,9)$，$B(5,0)$.
$\therefore S_{\triangle MCB} = S_{\triangle MCO} + S_{\triangle MBO} - S_{\triangle CBO} = 15$.