《2025年诚成教育学业评价九年级数学全一册人教版》

28. (10分)如图，抛物线$y = x^{2}-2x + c$与$x$轴交于$A$，$B$两点，与$y$轴交于点$C$，抛物线的顶点为$D$，点$A$的坐标为$(-1,0)$.
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)连接$BC$，$CD$，$BD$，判断$\triangle BCD$的形状，并说明理由；
(3)连接$AC$，$M$是抛物线$y = x^{2}-2x + c$的对称轴上的一点，当$\triangle MAC$是等腰三角形时，点$M$的坐标为____；
(4)延长$AC$，$BD$交于点$E$，过点$P(-4,0)$作直线$PQ$与抛物线交于点$N$，与直线$AC$于点$F$，请直接写出当$\angle PFA=\angle E$时，点$N$的坐标.

答案： 解:
(1)
∵抛物线$y = x^{2}-2x + c$经过$A(-1,0)$，
　
　
∴$(-1)^{2}-2\times(-1)+c = 0$.
　
　
∴$c=-3$.
　
　
∴抛物线的函数表达式是$y = x^{2}-2x - 3$.
(2)$\triangle BCD$是直角三角形. 理由如下：
　
　
∵$y = x^{2}-2x - 3=(x - 1)^{2}-4$，
　
　
∴$D(1,-4)$.
　
　
∵$x_{D}=\frac{x_{A}+x_{B}}{2}$，
　
　
∴$x_{B}=2\times1-(-1)=3$.
　
　
∴$B(3,0)$.
　
　
∴$BD^{2}=(3 - 1)^{2}+4^{2}=20$.
　
　
∵$C(0,-3)$，
　
　
∴$CD^{2}=1^{2}+[-3-(-4)]^{2}=2$.
　
　
∵$BC^{2}=3^{2}+3^{2}=18$，
　
　
∴$BC^{2}+CD^{2}=BD^{2}$.
　
　
∴$\angle BCD = 90^{\circ}$.
　
　
∴$\triangle BCD$是直角三角形.
(3)$(1,\sqrt{6})$或$(1,-\sqrt{6})$或$(1,0)$或$(1,-1)$.
(4)点$N$的坐标为$(2+\sqrt{15},12 + 2\sqrt{15})$或$(2-\sqrt{15},12 - 2\sqrt{15})$或$(2,-3)$或$(-\frac{1}{2},-\frac{7}{4})$.