《2025年诚成教育学业评价九年级数学全一册人教版》

24. (6分)已知关于$x$的一元二次方程$x^{2}-3x + k = 0$有实数根.
(1)求$k$的取值范围；
(2)如果$k$是符合条件的最大整数，且一元二次方程$(m - 1)x^{2}+x + m - 3 = 0$与方程$x^{2}-3x + k = 0$有一个相同的根，求此时$m$的值.

答案： 解:
(1) 根据题意，得$\Delta=(-3)^{2}-4k\geqslant0$.
解得$k\leqslant\frac{9}{4}$.
(2) 由
(1)知$k$的最大整数为2.
$\therefore$方程$x^{2}-3x + k = 0$变形为$x^{2}-3x + 2 = 0$.
解得$x_{1}=1,x_{2}=2$.
$\because$一元二次方程$(m - 1)x^{2}+x + m - 3 = 0$与方程$x^{2}-3x + k = 0$有一个相同的根，
$\therefore$当$x = 1$时，$m - 1+1+m - 3 = 0$，解得$m=\frac{3}{2}$；
当$x = 2$时，$4(m - 1)+2+m - 3 = 0$，解得$m = 1$.
$\because m - 1\neq0$，
$\therefore m$的值为$\frac{3}{2}$.

25. (8分)某天猫店销售某种规格的学生软式排球，成本为每个30元，对以往的销售数据分析表明：当售价为每个40元时，平均每月售出600个；若售价每个每上涨1元，其月销售量就减少20个，若售价每个每下降1元，其月销售量就增加200个.
(1)若售价上涨$m$元，则每月能售出________个排球(用含$m$的代数式表示)；
(2)为迎接“双十一”，该天猫店在10月底备货1300个该规格的排球，并决定整个11月份进行降价促销，售价定为每个多少元时，能使11月份这种规格的排球获利恰好为8400元？

答案： 解:
(1) $(600 - 20m)$.
(2) 设每个排球降价$x$元，则11月份能售出排球$(200x + 600)$个.根据题意，得
$(40 - x - 30)(200x + 600)=8400$.
解得$x_{1}=3,x_{2}=4$.
当$x = 3$时，销售量为$1200\lt1300$，符合题意；
当$x = 4$时，销售量为$1400\gt1300$，不合题意，舍去.
$\therefore40 - x = 37$.
答:售价定为每个37元时，能使11月份这种规格的排球获利恰好为8400元.