《2025年诚成教育学业评价九年级数学全一册人教版》

16. 如图，$\triangle ABC$的顶点$B$，$C$的坐标分别是$(1,0)$，$(0,\sqrt{3})$，且$\angle ABC = 90^{\circ}$，$\angle A = 30^{\circ}$，则顶点$A$的坐标是_______.

答案： $(4,\sqrt{3})$

17. 如图，四边形$ABCD$中，已知$AB = AD$，$\angle BAD+\angle BCD = 180^{\circ}$，$AC = 10$，$\sin\angle ACD=\frac{4}{5}$，则四边形$ABCD$的面积为_______.

答案： 48

18. 桔槔是一种原始的汲水工具，它是在一根竖立的架子上加上一根细长的杠杆，末端悬挂一重物，前端悬挂水桶.当人把水桶放入水中打满水以后，由于杠杆末端的重力作用，便能轻易把水提升至所需处.如图，若已知杠杆$AB = 6$米，$AO:OB = 2:1$，支架$OM\perp EF$，$OM = 3$米，$AB$可以绕着点$O$自由旋转，当点$A$旋转到图中位置时，$\angle AOM = 45^{\circ}$，此时点$B$到水平地面$EF$的距离为_______米.

答案： $(3+\sqrt{2})$

19. 新定义：已知三条平行直线，相邻两条平行线间的距离相等，我们把三个顶点分别在这样的三条平行线上的三角形称为格线三角形.如图，已知等腰直角三角形$ABC$为“格线三角形”，且$\angle BAC = 90^{\circ}$，那么直线$BC$与直线$c$所夹的锐角$\alpha$的正切值为_______.

答案： $\frac{1}{3}$

20. 如图，矩形$OABC$在平面直角坐标系中，点$B$的坐标是$(-2,1)$，过点$A$作$AB_{1}// OB$，交$x$轴于点$B_{1}$，过点$B_{1}$作$A_{1}B_{1}\perp x$轴交直线$AC$于点$A_{1}$，过点$A_{1}$作直线$A_{1}B_{2}// AB_{1}$交$x$轴于点$B_{2}$，过点$B_{2}$作$A_{2}B_{2}\perp x$轴交直线$AC$于点$A_{2}\cdots\cdots$则点$A_{2024}$的坐标是_______.

答案： $(2^{2025}-2,2^{2024})$

21. (6分)计算：
(1)$\tan45^{\circ}-\sin30^{\circ}\cos60^{\circ}-\cos^{2}45^{\circ}$；
(2)$(\frac{1}{4})^{-1}-2\sin60^{\circ}-(\pi - 3.14)^{0}+3\tan30^{\circ}$.

答案： 解:
(1)原式$=1-\frac{1}{2}\times\frac{1}{2}-(\frac{\sqrt{2}}{2})^2$
$=1-\frac{1}{4}-\frac{1}{2}$
$=\frac{1}{4}$.
(2)原式$=4 - 2\times\frac{\sqrt{3}}{2}-1 + 3\times\frac{\sqrt{3}}{3}$
$=3-\sqrt{3}+\sqrt{3}$
$=3$.