《2025年诚成教育学业评价九年级数学全一册人教版》

27. (10分)某水果生产基地在气温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培一种新品种水果，如图所示的是试验阶段的某天恒温系统从开启到关闭后，大棚内的温度$y$(单位：$^{\circ}C$)与时间$x$(单位：h)之间的函数关系，其中线段$AB$，$BC$表示恒温系统开启后阶段，双曲线的一部分$CD$表示恒温系统关闭阶段.
请根据图中信息解答下列问题：
(1) 这个恒温系统设定的恒定温度为多少？
(2) 求全天的温度$y$与时间$x$之间的函数解析式；
(3) 若大棚内的温度低于$12^{\circ}C$时，不利于水果生长，则这天内相对有利于水果生长的时间共有多少小时？

答案： 解:
(1)设直线$AB$的函数解析式为$y = kx + b(k\neq0)$。
根据题意，得$\begin{cases}b = 10\\2k + b = 14\end{cases}$。
解得$\begin{cases}k = 2\\b = 10\end{cases}$。
∴直线$AB$的函数解析式为$y = 2x + 10$。
当$x = 5$时，$y = 2×5 + 10 = 20$。
∴恒定温度为$20^{\circ}C$。
(2)由
(1)可知，当$0\leqslant x\leqslant5$时，
函数解析式为$y = 2x + 10$；
根据图象可知，当$5 ＜ x\leqslant10$时，$y = 20$；
当$10 ＜ x\leqslant24$时，设函数解析式为$y = \frac{m}{x}(m\neq0)$。
易知$(10,20)$在该函数图象上，则$20 = \frac{m}{10}$。
∴$m = 200$。
∴函数解析式为$y = \frac{200}{x}$。
(3)当$0\leqslant x\leqslant5$时，令$y = 12$，
得$12 = 2x + 10$。
∴$x = 1$；
当$10 ＜ x\leqslant24$时，令$y = 12$，
得$12 = \frac{200}{x}$。
∴$x = \frac{50}{3}$。
∴这天内相对有利于水果生长的时间共有$\frac{50}{3} - 1 = \frac{47}{3}(h)$。

28. (10分)新理念 综合探究性试题 如图，正比例函数$y = kx$的图象与反比例函数$y = \frac{m}{x}$的图象交于点$A(a,2a)(a ＞ 0)$和点$B$，且$OA = \sqrt{5}$，$C$是$x$轴正半轴上一点，过点$C$作$x$轴的垂线，与正比例函数的图象交于点$P$，与反比例函数的图象交于点$Q$.
(1) 求正比例函数与反比例函数的解析式；
(2) 当$Q$是$PC$的中点时，求点$C$的坐标；
(3) 是否存在点$C$，使$\triangle ABC$是直角三角形？若存在，求出此时点$C$的坐标；若不存在，说明理由.

答案： 解:
(1)
∵$A(a,2a)$，$OA = \sqrt{5}$，
∴$a^2 + (2a)^2 = 5$。
∴$a = - 1$（舍去）或$a = 1$。
∴$A(1,2)$。
∵点$A$在正比例函数$y = kx$的图象上，
∴$k = 2$。
∴正比例函数的解析式为$y = 2x$。
∵点$A(1,2)$在反比例函数$y = \frac{m}{x}$的图象上，
∴$m = 2$。
∴反比例函数的解析式为$y = \frac{2}{x}$。
(2)设$C(c,0)(c ＞ 0)$。
∵$CP\perp x$轴，
∴$P(c,2c)$，$Q(c,\frac{2}{c})$。
∵$Q$是$PC$的中点，
∴$2c - \frac{2}{c} = \frac{2}{c}$。
∴$c = - \sqrt{2}$（舍去）或$c = \sqrt{2}$。
∴$C(\sqrt{2},0)$。
(3)存在。
由$A(1,2)$，知$B(-1,-2)$，
∴$AB^2 = 20$。
设$C(n,0)$。
∴$AC^2 = (n - 1)^2 + 4$，$BC^2 = (n + 1)^2 + 4$。
当$\angle BAC = 90^{\circ}$时，$AB^2 + AC^2 = BC^2$，
∴$20 + (n - 1)^2 + 4 = (n + 1)^2 + 4$。
∴$n = 5$。
∴$C(5,0)$；
当$\angle ACB = 90^{\circ}$时，$AB^2 = AC^2 + BC^2$，
∴$20 = (n - 1)^2 + 4 + (n + 1)^2 + 4$。
∴$n = - \sqrt{5}$（舍去）或$n = \sqrt{5}$。
∴$C(\sqrt{5},0)$；
当$\angle ABC = 90^{\circ}$时，$AC^2 = AB^2 + BC^2$，
∴$(n - 1)^2 + 4 = 20 + (n + 1)^2 + 4$。
∴$n = - 5$（舍去）。
综上，存在点$C$，使$\triangle ABC$是直角三角形，此时点$C$的坐标为$(5,0)$或$(\sqrt{5},0)$。