《2025年诚成教育学业评价九年级数学全一册人教版》

27. (10分)如果关于$x$的一元二次方程$ax^{2}+bx + c = 0$有两个实数根，且其中一个根是另一个根的3倍，那么称这样的方程为“三倍根方程”.例如：方程$x^{2}-4x + 3 = 0$的两个根是1和3，则这个方程就是“三倍根方程”.
(1)方程$x^{2}-3x + 2 = 0$______(填“是”或“不是”)“三倍根方程”；
(2)若关于$x$的方程$x^{2}-6x + c = 0$是“三倍根方程”，求$c$的值；
(3)若$x^{2}-(m + n)x + mn = 0$是关于$x$的“三倍根方程”，求代数式$\frac{mn}{m^{2}+n^{2}}$的值.

答案： 解:
(1)不是.
(2)设方程$x^{2}-6x + c = 0$的两根为$t,3t$.
　　　　根据根与系数的关系，
　　　　得$t + 3t = 6,t\cdot3t = c$.
　　　　所以$t=\frac{3}{2},c = 3t^{2}$.
　　　　所以$c = 3\times(\frac{3}{2})^{2}=\frac{27}{4}$.
(3)设方程的两根为$s,3s$.
　　　　根据根与系数的关系，
　　　　得$s + 3s = m + n,s\cdot3s = mn$.
　　　　所以$m + n = 4s,mn = 3s^{2}$.
　　　　所以$\frac{mn}{m^{2}+n^{2}}=\frac{mn}{(m + n)^{2}-2mn}=\frac{3s^{2}}{16s^{2}-2\times3s^{2}}=\frac{3}{10}$.