《2025年诚成教育学业评价九年级数学全一册人教版》

28. (10分)丹东是我国的边境城市，拥有丰富的旅游资源，某景区研发一款纪念品，每件成本为30元，投放景区内进行销售，规定销售单价不低于成本且不高于54元，销售一段时间后调研发现，每天的销售数量$y$(单位：件)与销售单价$x$(单位：元)满足一次函数关系，部分数据如下表所示：

(1)直接写出$y$与$x$的函数关系式；
(2)若每天销售所得利润为1200元，求销售单价应定为多少元；
(3)当销售单价为多少元时，每天获利最大？最大利润是多少元？

答案： 解：
(1) $y = -2x + 160$.
(2) 依题意，得 $(x - 30)\cdot(-2x + 160) = 1200$.
解得 $x_1 = 50,x_2 = 60$.
$\because$ 规定销售单价不低于成本且不高于 54 元，
$\therefore x = 50$.
答：销售单价应定为 50 元.
(3) 设每天获利 $w$ 元.由题意，得
$w = (x - 30)\cdot(-2x + 160)$
$= -2x^2 + 220x - 4800$
$= -2(x - 55)^2 + 1250$.
$\because -2 ＜ 0$，函数图象的对称轴是 $x = 55$，$30\leq x\leq54$，
$\therefore x = 54$ 时，$w$ 取得最大值，最大值是
$-2\times(54 - 55)^2 + 1250 = 1248$（元）.
答：当销售单价为 54 元时，每天获利最大，最大利润为 1248 元.