《2025年诚成教育学业评价九年级数学全一册人教版》

27. (10分)如图,点E是△ABC的内心,AE的延长线与BC相交于点F,与△ABC的外接圆相交于点D,连接BD.
(1)求证△BFD∽△ABD;
(2)求证DE = DB.
　

答案：
证明:
(1)
∵点E为△ABC的内心，
　
　
　
∴$\angle BAD=\angle CAD$.
　　　　　　又$\angle CAD=\angle CBD$，
　
　
　
∴$\angle BAD=\angle CBD$.
　　　　　　又$\angle BDF=\angle ADB$，
　
　
　
∴△BFD∽△ABD.
(2)如图，连接BE.
　　　　　　　　
　
　
　
∵点E为△ABC的内心，
　
　
　
∴$\angle ABE=\angle CBE$.
　　　　　　又$\angle CBD=\angle BAD$，
　
　
　
∴$\angle BAD+\angle ABE=\angle CBE+\angle CBD$.
　
　
　
∵$\angle BAD+\angle ABE=\angle BED$，
　　　　　　　$\angle CBE+\angle CBD=\angle DBE$，
　
　
　
∴$\angle DBE=\angle BED$.
　
　
　
∴$DE = DB$.

28. (10分)新理念综合实践试题
问题情境:
如图①,△ABC与△CDE是等腰直角三角形，直角边AC,CD在同一条直线上,M,N分别是斜边AB,DE的中点,P为AD的中点,连接PM,PN,AE,BD.
(1)请直接写出线段PM与线段PN的数量关系及位置关系;
猜想证明:
(2)现将图①中的△CDE绕着点C顺时针旋转α(0°＜α＜90°)得到图②,AE分别与MP,BC,BD交于点G，O，H.请判断(1)中的结论是否成立？若成立，请给予证明;若不成立，请说明理由;
探索发现:
(3)若图②中的等腰直角三角形变成直角三角形，其中∠ACB = ∠ECD = 90°,且使BC = kAC，CD = kCE，如图③，请你写出PM与PN的数量关系，并加以证明.
　　　　　　

答案： 解:
(1)$PM = PN$，$PM\perp PN$.
(2)成立.证明如下:
　
　
∵△ACB和△ECD是等腰直角三角形，
　
　
∴$AC = BC$，$EC = CD$，
　　　　　　$\angle ACB=\angle ECD = 90^{\circ}$.
　
　
∴$\angle ACB+\angle BCE=\angle ECD+\angle BCE$.
　
　
∴$\angle ACE=\angle BCD$.
　
　
∴△ACE≌△BCD.
　
　
∴$AE = BD$，$\angle CAE=\angle CBD$.
　　　　　又$\angle AOC=\angle BOE$，
　
　
∴$\angle BHO=\angle ACO = 90^{\circ}$.
　
　
∴$AE\perp BD$.
　
　
∵P,M,N分别为AD,AB,DE的中点，
　
　
∴$PM=\frac{1}{2}BD$，$PM// BD$，
　　　　　　$PN=\frac{1}{2}AE$，$PN// AE$.
　
　
∴$PM = PN$，$PM\perp PN$.
(3)$PM = kPN$.
　　　　　证明:
∵$\angle ACB=\angle ECD = 90^{\circ}$，
　
　
　
∴$\angle ACB+\angle BCE=\angle ECD+\angle BCE$.
　
　
　
　
∴$\angle ACE=\angle BCD$.
　
　
　
　
∵$BC = kAC$，$CD = kCE$，
　
　
　
　
∴$\frac{BC}{AC}=\frac{CD}{CE}=k$.
　
　
　
　
∴△BCD∽△ACE.
　
　
　
　
∴$BD = kAE$.
　
　
　
　
∵P,M,N分别为AD,AB,DE的中点，
　
　
　
　
∴$PM=\frac{1}{2}BD$，$PN=\frac{1}{2}AE$.
∴$PM = kPN$.