《2025年诚成教育学业评价九年级数学全一册人教版》

25. （8 分）如图，正方形$ABCD$的边长为 4，动点$P$从点$D$出发以每秒 1 个单位长度的速度往点$C$运动，动点$Q$从点$A$出发以每秒 3 个单位长度的速度经点$B$往点$C$运动，若点$P$，$Q$同时出发，其中一个点运动到点$C$时，另一点也随即停止运动，连接$PA$，$PQ$，记$\triangle APQ$的面积为$y$，运动时间为$x$秒.
（1）求$y$关于$x$的函数关系式；
（2）当点$Q$在边$AB$上时，求使$\triangle APQ$的面积与四边形$QBCP$的面积相等时的$x$的值；
（3）连接$BD$，是否存在某个时刻使$PQ// BD$？若存在，求出$x$的值，并求此时$\triangle APQ$的面积；若不存在，请说明理由.

答案： 解:
(1)当$0 ＜ x\leqslant\frac{4}{3}$时，$y = 6x$；
　　　　当$\frac{4}{3} ＜ x\leqslant\frac{8}{3}$时，$y = -\frac{3}{2}x^{2}+2x + 8$.
(2)当点$Q$在边$AB$上时，$PC = 4 - x$，$BQ = 4 - 3x$.由题意，得
　　　　$6x=\frac{1}{2}\times4\times(4 - x + 4 - 3x)$.
　
　
∴$x=\frac{8}{7}$.
(3)连接$BD$，显然，当$x\leqslant\frac{4}{3}$时，$PQ$与$BD$不平行；
　　　　当$\frac{4}{3} ＜ x\leqslant\frac{8}{3}$时，
　
　
∵在正方形$ABCD$中，$\angle C = 90^{\circ}$，$CB = CD$，
　
　
∴$\angle CBD=\angle CDB = 45^{\circ}$.
　　　　要使$PQ// BD$，只要$CP = CQ$即可，
　　　　即$4 - x = 8 - 3x$.
　　　　解得$x = 2$.
　
　
∴$S_{\triangle APQ}=-\frac{3}{2}x^{2}+2x + 8 = 6$.

26. （8 分）超市销售某种儿童玩具，如果每件利润为 40 元（市场管理部门规定，该种玩具每件利润不能超过 60 元），每天可售出 50 件. 根据市场调查发现，销售单价每增加 2 元，每天销售量会减少 1 件. 设销售单价增加$x$元，每天售出$y$件.
（1）请直接写出$y$与$x$之间的函数表达式；
（2）当$x$为多少时，超市每天销售这种玩具可获利润 2250 元？
（3）当$x$为多少时，超市每天销售这种玩具可获利润最大？最大利润是多少？

答案： 解:
(1)$y = 50-\frac{x}{2}(0\leqslant x\leqslant20)$.
(2)由题意，得$(50-\frac{x}{2})(x + 40)=2250$.
　　　　解得$x_{1}=50$(舍)，$x_{2}=10$.
　
　
∴当$x$为$10$时，超市每天销售这种玩具可获利润$2250$元.
(3)设超市每天销售这种玩具可获利润为$W$元.
　　　　$W = y(x + 40)$
　　　　　$=(50-\frac{x}{2})(x + 40)$
　　　　　$=-\frac{1}{2}x^{2}+50x - 20x + 2000$
　　　　　$=-\frac{1}{2}x^{2}+30x + 2000$
　　　　　$=-\frac{1}{2}(x - 30)^{2}+2450$.
　
　
∵$0\leqslant x\leqslant20$，$-\frac{1}{2}＜0$，
　
　
∴当$x = 20$时，$W$最大，
　　　　　　$W_{最大}=-\frac{1}{2}\times(20 - 30)^{2}+2450$
　　　　　　　　$=2400$.
　
　
∴当$x$为$20$时，超市每天销售这种玩具可获利润最大，最大利润是$2400$元.

27. （10 分）如图①，在$Rt\triangle ABC$和$Rt\triangle ADE$中，$\angle BAC=\angle DAE = 90^{\circ}$，$\angle D = 45^{\circ}$，$\angle C = 30^{\circ}$，固定$Rt\triangle ABC$，将$Rt\triangle ADE$绕点$A$按顺时针方向旋转$\alpha(0^{\circ}＜\alpha＜180^{\circ})$.
（1）如图②，当$DE\perp AC$时，求$\alpha$；
（2）如图③，当$DE// BC$时，求$\alpha$；
（3）当$0^{\circ}＜\alpha＜90^{\circ}$时，如图④，连接$BD$，$BC$与$DE$相交于点$F$，试探究在旋转过程中$\angle1+\angle2+\angle3$的大小是否发生改变. 若不发生改变，请求出此定值；若发生改变，请说明理由.

答案： 解:
(1)
∵$\angle DAE = 90^{\circ}$，$\angle D = 45^{\circ}$，
　
　
∴$\angle AED = 45^{\circ}$.
　
　
∵$DE\perp AC$，
　
　
∴$\angle CAE = 90^{\circ}-45^{\circ}=45^{\circ}$，即$\alpha = 45^{\circ}$.
(2)设$AD$与$BC$相交于点$M$.
　
　
∵$DE// CB$，
　
　
∴$\angle D=\angle AMB = 45^{\circ}$.
　　　　又$\angle AMB=\angle C+\angle CAM$，$\angle C = 30^{\circ}$，
　
　
∴$\angle CAM = 15^{\circ}$.
　
　
∴$\angle CAE=\angle CAM+\angle DAE = 105^{\circ}$.
　　　　即$\alpha = 105^{\circ}$.
(3)$\angle1+\angle2+\angle3$的大小不变.
　
　
∵$\angle EAB+\angle CBA=\angle E+\angle BFE$，
　　　　　　$\angle E = 45^{\circ}$，
　　　　　　$\angle CBA = 90^{\circ}-30^{\circ}=60^{\circ}$，
　
　
∴$\angle BFE-\angle EAB=\angle CBA-\angle E$
　　　　　　　　　　　　　$=60^{\circ}-45^{\circ}$
　　　　　　　　　　　　　$=15^{\circ}$.
　　　　又$\angle1+\angle3=\angle BFE$，$\angle2 = 90^{\circ}-\angle EAB$，
　
　
∴$\angle1+\angle2+\angle3=\angle BFE+90^{\circ}-\angle EAB$
　　　　　　　　　　　　$=90^{\circ}+15^{\circ}=105^{\circ}$.