《2025年诚成教育学业评价九年级数学全一册人教版》

27.(10分)如图，在平面直角坐标系中，已知一次函数丛=k1x+b与坐标轴分别交于A(5,0)，

0.5两点，且与反比侧函数y线k2的图象在第一象限内交于是长两点，连接OP，人OAP2]B o,的面积为54

（1）求一次函数与反比例函数的解析式

(2)当y: >y: 时，求全的取值范围：

(3）若C为线段OA上的一个动点·当PC于KC最小时，求△PKC的面积.

　　

答案：
解:
(1)
∵一次函数y₁ = k₁x + b与坐标轴分别交于A(5,0)，B(0,$\frac{5}{2}$)两点，
∴$\begin{cases}5k_1 + b = 0\\b = \frac{5}{2}\end{cases}$
解得$\begin{cases}k_1 = -\frac{1}{2}\\b = \frac{5}{2}\end{cases}$
∴一次函数的解析式为y₁ = -$\frac{1}{2}$x + $\frac{5}{2}$.
∵△OAP的面积为$\frac{5}{4}$，
∴$\frac{1}{2}$OA·yP = $\frac{5}{4}$.
∴yP = $\frac{1}{2}$.
∵点P在一次函数图象上，
∴令 -$\frac{1}{2}$x + $\frac{5}{2}$ = $\frac{1}{2}$，解得x = 4.
∴P(4,$\frac{1}{2}$).
∵点P在反比例函数y₂ = $\frac{k₂}{x}$的图象上，
∴k₂ = 4×$\frac{1}{2}$ = 2.
∴反比例函数的解析式为y₂ = $\frac{2}{x}$.
(2)令 -$\frac{1}{2}$x + $\frac{5}{2}$ = $\frac{2}{x}$，
解得x = 1或x = 4.
由图象可知，当y₂＞y₁时，x的取值范围为0＜x＜1或x＞4.
(3)如图，作点P关于x轴的对称点P'，连接KP'，线段KP'与x轴的交点即为满足PC + KC最小的点C，连接PC.
∵P(4,$\frac{1}{2}$)，
∴P'(4,−$\frac{1}{2}$).
∴PP' = 1.
由
(2)易知K(1,2)，
∴直线KP'的解析式为y = -$\frac{5}{6}$x + $\frac{17}{6}$.
令y = 0，解得x = $\frac{17}{5}$.
∴C($\frac{17}{5}$,0).
∴S△PKC = $\frac{1}{2}$(xC - xK)·PP'
= $\frac{1}{2}$×($\frac{17}{5}$ - 1)×1
=$\frac{6}{5}$.
∴当PC + KC最小时，△PKC的面积为$\frac{6}{5}$.

28.(10分)　)新理念综合探究性试题)如图，直线ッ一十2与x轴交于点A（1,0),与y轴交于

点B(O，b）.将线段AB先向右平移1个单位长度，再向上平移t(t>0）个单位长度，得到对应

た

"(r>0)的图象恰好经过C,D两点，连接AC，BD.

T

线段CD，反比例函数y一元

(1) 求a和6的值；

（2）求反比例函数的表达式及四边形ABDC的面积；

（3）点N在轴正半轴上，M是反比例函数y二

R

(a>0)的图象上的一个动点，若△CMN

是以CM为直角边的等腰直角三角形，直接写出所有满足条件的点M的坐标。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　

答案： 解:
(1)将点A(1,0)代入y = ax + 2，得0 = a + 2.
∴a = -2.
∴直线的解析式为y = -2x + 2.
将x = 0代入上式，得y = 2.
∴b = 2.
(2)由平移可得点C(2,t)，D(1,2 + t).
将点C(2,t)，D(1,2 + t)分别代入y = $\frac{k}{x}$，
得$\begin{cases}t = \frac{k}{2}\\2 + t = \frac{k}{1}\end{cases}$
解得$\begin{cases}k = 4\\t = 2\end{cases}$
∴反比例函数的解析式为y = $\frac{4}{x}$，点C(2,2)，D(1,4).
分别连接BC，AD.
∵B(0,2)，C(2,2)，
∴BC//x轴，BC = 2.
∵A(1,0)，D(1,4)，
∴AD⊥x轴，AD = 4.
∴BC⊥AD.
∴S四边形ABDC = $\frac{1}{2}$BC·AD = $\frac{1}{2}$×2×4 = 4.
(3)点M的坐标为(4,1)或 ($\sqrt{5} + 1,\sqrt{5} - 1$).