《2025年诚成教育学业评价九年级数学全一册人教版》

28. (10分)已知实数$m,n$满足$m^{2}-m - 1 = 0$，$n^{2}-n - 1 = 0$，$m\neq n$，则$m,n$是方程$x^{2}-x - 1 = 0$的两个不相等的实数根，由一元二次方程的根与系数的关系可知$m + n = 1$，$mn=-1$.
根据上述材料，解决以下问题：
(1)直接应用：
已知实数$a,b$满足$a^{2}-7a + 1 = 0$，$b^{2}-7b + 1 = 0$，$a\neq b$，则$a + b =$________，$ab =$________；
(2)间接应用：
在(1)的条件下，求$\frac{1}{\sqrt{a}}+\frac{1}{\sqrt{b}}$的值；
(3)拓展应用：
已知实数$m,n$满足$\frac{1}{m^{2}}+\frac{1}{m}=7$，$n^{2}-n = 7$且$mn\neq - 1$，求$\frac{1}{m^{2}}+n^{2}$的值.

答案： 解:
(1) 7,1.
(2) $(\frac{1}{\sqrt{a}}+\frac{1}{\sqrt{b}})^{2}=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{2}{\sqrt{ab}}=\frac{a + b}{ab}+\frac{2}{\sqrt{ab}}$.
由
(1)知$a + b = 7,ab = 1$.
$\therefore(\frac{1}{\sqrt{a}}+\frac{1}{\sqrt{b}})^{2}=\frac{7}{1}+\frac{2}{1}=7 + 2 = 9$.
$\therefore\frac{1}{\sqrt{a}}+\frac{1}{\sqrt{b}}=3$（取正）.
(3) 令$\frac{1}{m}=a,-n = b$，
则$a^{2}+a - 7 = 0,b^{2}+b - 7 = 0$.
$\because mn\neq - 1$，
$\therefore\frac{1}{m}\neq - n$，即$a\neq b$.
$\therefore a,b$是方程$x^{2}+x - 7 = 0$的两个不相等的实数根.
$\therefore\begin{cases}a + b=-1\\ab=-7\end{cases}$.
故$\frac{1}{m^{2}}+n^{2}=a^{2}+b^{2}=(a + b)^{2}-2ab = 15$.