《2025年诚成教育学业评价九年级数学全一册人教版》

27. (10分)为了落实国务院的指示精神，某地方政府出台了一系列“三农”优惠政策，使农民收入大幅度增加.某农户生产经销一种农产品，已知这种产品的成本价为每千克20元，经市场调查发现，该产品每天的销量y(单位：kg)与售价x(单位：元/kg)有如下关系：$y = - 2x + 80$.设这种产品每天的销售利润为w(单位：元).
(1)求w与x之间的函数关系式；
(2)该产品售价定为每千克多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？
(3)如果物价部门规定这种产品的销售价不高于每千克28元，该农户想要每天获得150元的销售利润，售价应定为每千克多少元？

答案： 解:
(1)由题意，得
　　　　$w=(x - 20)(-2x + 80)$
　　　　　$=-2x^2 + 120x - 1600$.
　　　　故$w$与$x$之间的函数关系式为
　　　　$w=-2x^2 + 120x - 1600$.
(2)由
(1)知
　　　　$w=-2x^2 + 120x - 1600$
　　　　　$=-2(x - 30)^2 + 200$.
　
　
∵$-2\lt0$，
　
　
∴当$x = 30$时，$w$有最大值，最大值为200.
　　　　答:该产品售价定为每千克30元时，每天的销售利润最大，最大利润是200元.
(3)当$w = 150$时，可得方程
　　　　$-2(x - 30)^2 + 200 = 150$.
　　　　解得$x_1 = 25,x_2 = 35$.
　
　
∵$35\gt28$，
　
　
∴$x = 25$.
　　　　答:该农户想要每天获得150元的销售利润，售价应定为每千克25元.

28. (10分)如图，已知抛物线$C_{1}$与x轴交于$A(4,0)$，$B( - 1,0)$两点，与y轴交于点$C(0,2)$.将抛物线$C_{1}$向右平移$m(m\gt0)$个单位长度得到抛物线$C_{2}$，$C_{2}$与x轴交于D，E两点(点D在点E的左侧)，与抛物线$C_{1}$在第一象限内交于点M.
(1)求抛物线$C_{1}$的解析式，并写出其对称轴；
(2)①若$m = 1$，求抛物线$C_{2}$的解析式；
②点M的坐标为______________(用含m的代数式表示)；
(3)连接DM，AM.在抛物线$C_{1}$向右平移的过程中，是否存在$\triangle ADM$是等腰直角三角形的情况？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由.

答案： 解:
(1)设抛物线$C_1$的解析式为$y_1 = ax^2 + bx + c(a\neq0)$.
　
　
∵点$C(0,2)$，
　
　
∴$c = 2$.
　　　　把点$A(4,0),B(-1,0)$代入
　　　　$y_1 = ax^2 + bx + 2$中，
　　　　得$\begin{cases}16a + 4b + 2 = 0,\\a - b + 2 = 0.\end{cases}$
　　　　解得$\begin{cases}a = -\frac{1}{2},\\b = \frac{3}{2}.\end{cases}$
　　　　故抛物线$C_1$的解析式为
　　　　$y_1 = -\frac{1}{2}x^2 + \frac{3}{2}x + 2$，
　　　　对称轴为$x = -\frac{\frac{3}{2}}{2\times(-\frac{1}{2})}=\frac{3}{2}$.
(2)①
∵抛物线$C_1$的解析式为
　　　　$y_1 = -\frac{1}{2}x^2 + \frac{3}{2}x + 2$，
　
　
∴化成顶点式为$y_1 = -\frac{1}{2}(x - \frac{3}{2})^2 + \frac{25}{8}$.
　　　　当$m = 1$时，抛物线$C_2$的解析式为
　　　　$y_2 = -\frac{1}{2}(x - \frac{3}{2}-1)^2 + \frac{25}{8}$
　　　　$=-\frac{1}{2}(x - \frac{5}{2})^2 + \frac{25}{8}$
　　　　$=-\frac{1}{2}x^2 + \frac{5}{2}x$，
　　　　即抛物线$C_2$的解析式为
　　　　$y_2 = -\frac{1}{2}x^2 + \frac{5}{2}x$.
　　　②$(\frac{m + 3}{2},\frac{25 - m^2}{8})$.
(3)不存在.
　　　理由:过点$M$作$MN\perp AD$于点$N$.
　　　要使$\triangle ADM$是等腰直角三角形，则$\angle DMA = 90^{\circ},MN = DN$.
　
∵$D(m - 1,0),M(\frac{m + 3}{2},\frac{25 - m^2}{8})$，
　　　　$N(\frac{m + 3}{2},0)$，
　
∴$DN=\frac{m + 3}{2}-(m - 1)=\frac{5 - m}{2}$，
　　　　$MN=\frac{25 - m^2}{8}$.
　　　令$\frac{25 - m^2}{8}=\frac{5 - m}{2}$，
　　　解得$m_1 = -1,m_2 = 5$.
　
∵点$M$在第一象限，
　
∴$0\lt m\lt4$.
　
∴$m_1 = -1$和$m_2 = 5$均不符合题意.
　
∴不存在$m$的值，使$\triangle ADM$是等腰直角三角形.