《2025年诚成教育学业评价九年级数学全一册人教版》

26. (8分)阅读并完成下列问题：任意给定一个矩形A，是否存在另一矩形B，使它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的一半？
(1)当已知矩形A的两边长分别为6和1时，小亮同学是这样研究的：
设所求矩形的两边长分别是$x$和$y$，由题意可得方程组$\begin{cases}x + y=\frac{7}{2}\\xy = 3\end{cases}$
消去$y$，得$2x^{2}-7x + 6 = 0$.
$\because\Delta = 49 - 48 = 1＞0$，
$\therefore x_{1}=$________，$x_{2}=$________.
$\therefore$满足要求的矩形B存在；
(2)如果已知矩形A的两边长分别为2和1，那么请你仿照小亮的方法研究是否存在满足要求的矩形B；
(3)如果矩形A的两边长分别为$m$和$n$，那么请你研究当$m,n$满足什么条件时，矩形B存在，并说明理由.

答案： 解:
(1) $\frac{3}{2},2$.
(2) 设所求矩形的两边长分别是$a$和$b$.
由题意，得$\begin{cases}a + b=\frac{3}{2}\\ab = 1\end{cases}$.
消去$b$，得$2a^{2}-3a + 2 = 0$.
$\because\Delta=9 - 16=-7\lt0$，
$\therefore$不存在满足要求的矩形B.
(3) 当$m,n$满足$(m - n)^{2}-4mn\geqslant0$时，矩形B存在.
理由如下:
设所求矩形的两边长分别是$p$和$q$.
由题意，得$\begin{cases}p + q=\frac{m + n}{2}\\pq=\frac{mn}{2}\end{cases}$.
消去$q$，得$2p^{2}-(m + n)p + mn = 0$.
$\therefore\Delta=[-(m + n)]^{2}-8mn=(m - n)^{2}-4mn$.
当$\Delta\geqslant0$时，存在满足要求的矩形B，
即当$(m - n)^{2}-4mn\geqslant0$时，矩形B存在.