《2025年诚成教育学业评价九年级数学全一册人教版》

14. 已知抛物线$y = ax^{2}+bx + c(a\neq0)$与x轴交于$A( - 1,0)$，$B(5,0)$两点，则一元二次方程$ax^{2}+bx + c = 0(a\neq0)$的根是__________.

答案： $x_1 = -1,x_2 = 5$

15. 如图，将半径为$3\ cm$的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心O，则折痕AB的长为_______cm.

答案： $3\sqrt{3}$

16. 一个圆锥的高为3，侧面展开图是半圆，则这个圆锥的侧面积是_______.

答案： $6\pi$

17. 若函数$y=(2 - m)x^{2}+4x + 1$的图象与x轴只有一个公共点，则常数m的值是_______.

答案： 2或 - 2

18. 如图，$Rt\triangle ABC$中，$\angle ACB = 90^{\circ}$，$AC = BC = 8$，F为AC的中点，D是线段AB上一动点，连接CD，将线段CD绕点C沿逆时针方向旋转90°得到线段CE，连接EF，则点D在运动过程中，EF的最大值与最小值的和为_______.

答案： $4\sqrt{5}+2\sqrt{2}$

19. 如图，在平面直角坐标系中，已知点$A(0,1)$，$B(0,1 + t)$，$C(0,1 - t)$(其中$t\gt0$)，点P在以$D(4,4)$为圆心，1为半径的⊙D上运动，且始终满足$\angle BPC = 90^{\circ}$，则t的取值范围是_______.

答案： $4\leqslant t\leqslant6$

20. 如图所示的平面直角坐标系中，$\triangle OA_{1}B_{1}$是边长为2的等边三角形，作$\triangle B_{2}A_{2}B_{1}$与$\triangle OA_{1}B_{1}$关于点$B_{1}$成中心对称，再作$\triangle B_{3}A_{3}B_{2}$与$\triangle B_{1}A_{2}B_{2}$关于点$B_{2}$成中心对称……如此作下去，则$\triangle B_{2024}A_{2024}B_{2023}$的顶点$A_{2024}$的坐标是__________.

答案： $(4047,-\sqrt{3})$

21. (6分)解方程：
(1)$(x + 1)^{2}-9 = 0$；
(2)$x^{2}-2x - 3 = 0$.

答案：
(1)$x_1 = 2,x_2 = -4$
(2)$x_1 = 3,x_2 = -1$

22. (6分)若$a^{2}+b^{2}=c^{2}$，则我们把形如$ax^{2}+\sqrt{2}cx + b = 0(a\neq0)$的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”.
(1)当$a = 3$，$b = 4$时，写出相应的“勾系一元二次方程”；
(2)求证：关于x的“勾系一元二次方程”$ax^{2}+\sqrt{2}cx + b = 0(a\neq0)$必有实数根.

答案：
(1)解:当$a = 3,b = 4$时，$c=\pm5$，
　
　
∴相应的“勾系一元二次方程”为
　　　　　　$3x^2\pm5\sqrt{2}x + 4 = 0$.
(2)证明:由题意，得
　　　　$\Delta=(\sqrt{2}c)^2 - 4ab$
　　　　　　$=2c^2 - 4ab$
　　　　　　$=2(a^2 + b^2) - 4ab$
　　　　　　$=2(a - b)^2\geqslant0$.
　
　
∴“勾系一元二次方程”$ax^2+\sqrt{2}cx + b = 0(a\neq0)$必有实数根.