《2025年诚成教育学业评价九年级数学全一册人教版》

27. (10分)新理念探究性试题
【问题背景】
(1)如图①,$\angle BAC = \angle DAE = 90^{\circ}$,$AB = AC$,$AD = AE$,连接$BD$,$CE$,求证$BD = CE$;
【问题探究】
(2)将图①中$\triangle DAE$绕着点$A$旋转,使点$D$落在$\triangle ABC$内部,如图②,其余条件不变,请探究$BD$与$CE$的关系(数量关系和位置关系),并证明你的结论;
【拓展应用】
(3)连接图①中$CD$,$BE$,$BD$与$CE$交于点$F$,如图③,若$BD = 8$,请求出四边形$BCDE$的面积.

答案：
解:
(1)证明:
∵∠BAC=∠DAE=90°,
　
　
　
∴∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD.
　
　
∴∠BAD=∠CAE.
　　　　在△ABD和△ACE中，
　　　　　　$\begin{cases}AD = AE\\\angle BAD = \angle CAE\\AB = AC\end{cases}$
　
　
∴△ABD≌△ACE(SAS).
　
　
∴BD=CE.
(2)BD=CE,BD⊥CE.
　　证明:如图，延长BD交CE于点F.
　
∵∠BAC=∠DAE=90°,
　
∴∠BAC−∠CAD=∠DAE−∠CAD.
　
∴∠BAD=∠CAE.
　　在△ABD和△ACE中，
　　　　$\begin{cases}AD = AE\\\angle BAD = \angle CAE\\AB = AC\end{cases}$
　
∴△ABD≌△ACE(SAS).
　
∴BD=CE,∠ABD=∠ACE.
　
∵∠CAB=90°,
　
∴∠ABD+∠DBC+∠ACB=90°.
　
∴∠ACE+∠DBC+∠ACB=90°.
　
∴∠BFC=180°−90°=90°.
　
∴BD⊥CE.
　　　　
(3)由
(1)知△ABD≌△ACE,
　　　　BD=CE.
　
∴∠ABD=∠ACE,CE=8.
　
∵∠CAB=90°,
　
∴∠ABD+∠DBC+∠ACB=90°.
　
∴∠ACE+∠DBC+∠ACB=90°.
　
∴∠BFC=180°−90°=90°.
　
∴BD⊥CE.
　
∵BD=CE=8,
　
∴S四边形BCDE=$\frac{1}{2}BD\cdot CE$=$\frac{1}{2}\times8\times8$=32.