《2025年诚成教育学业评价九年级数学全一册人教版》

23. (6 分)如图，已知抛物线$y = -\frac{1}{2}x^{2}+bx + c$交$x$轴于点$A$，$B$，交$y$轴于点$C$，直线$y = -x - 6$经过点$B$，$C$.
(1) 求抛物线的解析式；
(2) $D$是$x$轴上方抛物线上的一个动点，连接$BD$，$DC$.当$\triangle BCD$的面积为 12 时，求$BD$的长.

答案：
解:
(1)对于直线y=−x−6，
令x=0，则y=−6；
令y=0，则x=−6.
∴C(0,−6)，B(−6,0).
把点B(−6,0)，C(0,−6)代入y=−$\frac{1}{2}$x²+bx+c中，
得$\begin{cases}-\frac{1}{2}\times(-6)^{2}-6b + c = 0\\c = -6\end{cases}$
解得$\begin{cases}b = -4\\c = -6\end{cases}$
∴抛物线的解析式为y=−$\frac{1}{2}$x²−4x−6.
(2)如图，过点D作DM⊥x轴，交直线BC于点M.
设点D(t,−$\frac{1}{2}$t²−4t−6)
则点M(t,−t−6).
∴DM=(−$\frac{1}{2}$t²−4t−6)−(−t−6)=−$\frac{1}{2}$t²−3t.
∴S△BCD=S△DMC+S△DMB=$\frac{1}{2}$DM·OB=$\frac{1}{2}$(−$\frac{1}{2}$t²−3t)×6=−$\frac{3}{2}$t²−9t.
当S=12时，
即−$\frac{3}{2}$t²−9t=12，
解得t₁=−2，t₂=−4.
∵在抛物线y=−$\frac{1}{2}$x²−4x−6中，当y=0时，x=−6或x=−2，
∴A(−2,0).
∴−6＜t＜−2.
∴t=−4.
∴D(−4,2).
又B(−6,0)
∴BD=2$\sqrt{2}$

24. (7 分)把算珠放在计数器的 3 根插棒上可以构成一个数，例如，如图摆放的算珠表示数 210.现将算珠任意摆放在这 3 根插棒上.
(1) 将 1 颗算珠任意摆放在其中一根插棒上，构成的数是两位数的概率是_______；
(2) 若有 2 颗算珠，先放一颗算珠，再放另一颗，请用列表或画树状图的方法，求构成的数是三位数的概率.

答案：
解:
(1)$\frac{1}{3}$.
(2)画树状图如下:

由树状图可知，共有9种等可能的结果，构成的数是三位数的结果有5种，
∴构成的数是三位数的概率为$\frac{5}{9}$.

25. (8 分)如图①，在$\triangle ABC$中，$\angle A = 90^{\circ}$，$AB = AC=\sqrt{2}+1$，点$D$，$E$分别在边$AB$，$AC$上，且$AD = AE = 1$，连接$DE$.现将$\triangle ADE$绕点$A$顺时针旋转，旋转角为$\alpha(0^{\circ}＜\alpha＜360^{\circ})$，如图②，连接$CE$，$BD$，$CD$.
(1) 当$0^{\circ}＜\alpha＜180^{\circ}$时，求证$CE = BD$；
(2) 如图③，当$\alpha = 90^{\circ}$时，延长$CE$交$BD$于点$F$，求证：$CF$垂直平分$BD$；
(3) 在旋转过程中，求$\triangle BCD$的面积的最大值，并写出此时旋转角$\alpha$的度数.

答案：

(1)证明:
∵∠CAE与∠BAD为旋转角，
∴∠CAE=∠BAD.
在△ACE和△ABD中，
$\begin{cases}AC = AB\\\angle CAE=\angle BAD\\AE = AD\end{cases}$
∴△ACE≌△ABD(SAS).
∴CE=BD.
(2)证明:同
(1)可证△ACE≌△ABD(SAS)，
∴∠ACE=∠ABD.
∵∠ACE+∠AEC=90°，且∠AEC=∠FEB，
∴∠ABD+∠FEB=90°.
∴∠EFB=90°.
∴CF⊥BD.
∵AB=AC=$\sqrt{2}$+1，AD=AE=1，∠CAB=∠EAD=90°，
∴BC=$\sqrt{2}$AB=$\sqrt{2}$+2，CD=AC+AD=$\sqrt{2}$+2.
∴BC=CD.
∵CF⊥BD，
∴CF垂直平分BD.
(3)解:在△BCD中，边BC的长是定值，则BC边上的高取最大值时，△BCD的面积有最大值，
∴当点D在线段BC的垂直平分线上，且在△ABC外部时，△BCD的面积取得最大值.
如图，延长DA交BC于点G，则DG⊥BC.
∴AG=$\frac{1}{2}$BC=$\frac{\sqrt{2}+2}{2}$，∠GAB=45°.
∴DG=AG+AD=$\frac{\sqrt{2}+2}{2}$+1=$\frac{\sqrt{2}+4}{2}$
α=∠DAB=180°−45°=135°.
∴△BCD的面积的最大值为
$\frac{1}{2}$BC·DG=$\frac{1}{2}$×($\sqrt{2}$+2)×$\frac{\sqrt{2}+4}{2}$=$\frac{3\sqrt{2}+5}{2}$.