《2025年诚成教育学业评价九年级数学全一册人教版》

18. 已知二次函数$y_{1}=ax^{2}+bx + c(a\neq0)$与一次函数$y_{2}=mx + n(m\neq0)$的图象相交于点$A(-1,6)$和$B(5,3)$，如图所示，则使不等式$ax^{2}+bx + c\lt mx + n$成立的$x$的取值范围是______.

答案： $-1 ＜ x ＜ 5$

19. 二次函数的图象如图所示，对称轴为$x = -1$，根据图中信息可得该二次函数的解析式为______.

答案： $y = -x^2 - 2x + 3$

20. 如图，$P$是抛物线$y = -x^{2}+2x + 2$上在第一象限内的点，过点$P$分别向$x$轴和$y$轴作垂线，垂足分别为$A$，$B$，则四边形$OAPB$的周长的最大值为______.

答案： $\frac{17}{2}$

三、解答题(共60分)
21. (6分)已知抛物线$y = x^{2}-(m + 3)x - m$
(1)求证:无论$m$取何值，抛物线都与$x$轴有两个交点;
(2)$m$为何值时，抛物线与$x$轴的两个交点间的距离等于3

答案：
(1) 证明：当 $y = 0$ 时，$x^2 - (m - 3)x - m = 0$.$\because\Delta = [-(m - 3)]^2 - 4\times(-m)$$=(m - 1)^2 + 8 ＞ 0$，$\therefore$ 无论 $m$ 取何值，抛物线都与 $x$ 轴有两个交点.
(2) 解：设抛物线与 $x$ 轴的两个交点的横坐标分别为 $x_1,x_2$，且 $x_1 ＞ x_2$.$\therefore x_1,x_2$ 是方程 $x^2 - (m - 3)x - m = 0$ 的两个根.$\therefore x_1 + x_2 = m - 3,x_1x_2 = -m$.$\because x_1 - x_2 = 3$，$\therefore (x_1 - x_2)^2 = (x_1 + x_2)^2 - 4x_1x_2$$=(m - 3)^2 + 4m$$= 9$.解得 $m_1 = 0,m_2 = 2$.即 $m$ 为 0 或 2 时，抛物线与 $x$ 轴的两个交点间的距离等于 3.