《2025年诚成教育学业评价九年级数学全一册人教版》

三、解答题(共60分)
21.(6分)已知二次函数y=x²+mx+m²−3(m为常数,m＞0)的图象经
　过点P(2,4).
　(1)求m的值;
　(2)判断二次函数y=x²+mx+m²−3的图象与x轴交点的个数,并说明理由.

答案： 解:
(1)将点P(2,4)代入y = x² + mx + m² - 3，得4 = 4 + 2m + m² - 3.
解得m₁ = 1，m₂ = - 3.
又m＞0，
∴m = 1.
(2)交点个数为2.
理由:
∵m = 1，
∴y = x² + x - 2.
∵1² - 4×1×(-2) = 9＞0，
∴二次函数图象与x轴有2个交点.

22.(6分)如图是二次函数y=(x+2)²的图象,顶点为A,与y轴的交点为B.
　(1)求经过A,B两点的直线的函数关系式;
　(2)在第二象限中的抛物线上存在一点C,使△ABC的面积与△ABO的面积相等，请直接写出点C的坐标.
　　

答案： 解:
(1)令x = 0，则y = 2² = 4.
∴B(0,4).
令y = 0，则(x + 2)² = 0.
∴x₁ = x₂ = - 2.
∴A(-2,0).
设过A，B两点的直线的函数关系式为y = kx + b.
由题意，得{0 = - 2k + b，4 = b.
解得{b = 4，k = 2.
∴经过A，B两点的直线的函数关系式为y = 2x + 4.
(2)C(-1 - √5,6 - 2√5).

23.(6分)在平面直角坐标系中已知抛物线　=ax²+bx−4经过A(−4,0),C(2,0)两点,与y 轴交于点B.
　(1)求抛物线的解析式:
　(2)若M为第三象限内抛物线上一动点，点M的横坐标为m,△AMB的面积为S,求S关于m的函数关系式,并求出S的最大值
　　

答案：
解:
(1)把点A(-4,0)，C(2,0)代入y = ax² + bx - 4，
得{16a - 4b - 4 = 0，4a + 2b - 4 = 0.
解得{a = 1/2，b = 1.
∴抛物线的解析式为y = 1/2x² + x - 4.
(2)如图，过点M作MN⊥AC，垂足为N，
则四边形OBMN为梯形.
易得抛物线y = 1/2x² + x - 4与y轴的交点B的坐标为(0，- 4)，点M的坐标为(m,1/2m² + m - 4)(-4＜m＜0).
∴ON = - m，MN = - 1/2m² - m + 4，
AN = 4 - (- m) = 4 + m，OB = 4.
∴S = S△ANM + S梯形MNOB - S△AOB
= 1/2(4 + m)(- 1/2m² - m + 4) +
1/2(- 1/2m² - m + 4 + 4)(- m) -
1/2×4×4
= - m² - 4m
= -(m + 2)² + 4.
∴当m = - 2时，S取得最大值，最大值为4.
∴S关于m的函数关系式为S = - m² - 4m，S的最大值为4.

24.(6分)某商人将每件进价为8元的纪念品，按每件9元出售，每天可售出20件.他想采用提高售价的办法来增加利润，经试验，发现这种纪品每件提价元每天的销售量会少4件.
　

答案： 解:
(1)由题意，得
y = (x - 8)[20 - 4(x - 9)].
即y = - 4x² + 88x - 448.
(2)y = - 4x² + 88x - 448
= - 4(x - 11)² + 36.
当x = 11时，y最大，为36.
即每件售价定为11元时，才能使一天所得的利润最大，最大利润为36元.

25.(8分)新理念综合探究性试题如图,直线y=x十c与x轴交于点A(−4,0),与y轴交于点C,
抛物线y=-x²+bx+c经过点A,C.
　(1)求抛物线的解析式;
　(2)点E在抛物线的对称轴上,求CE+OE的最小值.
　　

答案：
25.解:
(1)将点A(-4,0)代入y = x + c，得c = 4.
将点A(-4,0)和c = 4代入y = - x² + bx + c，得b = - 3.
∴抛物线的解析式为y = - x² - 3x + 4.
(2)如图所示，作点C关于抛物线的对称轴直线l的对称点C'，连接OC'，交直线l于点E，连接CE，此时CE + OE的值最小.
抛物线的对称轴为
x = -(-3)/(2×(-1)) = - 3/2，
则C'C = 3.由勾股定理，得OC' = 5.
∴CE + OE的最小值为5.

答案： 解:
(1)(80 - 3x).
(2)
∵BC = BG + GC
= 10 + 80 - 3x
= 90 - 3x，
0＜BC ≤ 30，
∴0＜90 - 3x ≤ 30.即20 ≤ x＜30.
∵矩形CDHG的面积为GC·CD，
∴125 = (80 - 3x)x.
解得x = 25或x = 5/3(舍去).
故CD的长为25 m.
(3)设矩形ABCD的面积为S m²，则
S = BC·CD
= (90 - 3x)x
= - 3x² + 90x.
∵ - 3＜0，
∴抛物线开口向下.
∴当x＞ - 90/(2×(-3)) = 15时，S随x的增大而减小.
又20 ≤ x＜30，
故当x = 20时，S取得最大值.
即当CD的长为20 m时，矩形ABCD的面积最大.

27.如图，在小明的一次篮中，球出手时离地面2米高，与篮筐中心的水平距离为？米，当球出手后水平距离为4米时到达最大高度4米.篮球运行的轨迹为抛物线，篮筐中心距离地面3米，通过计算说明此球能否投至篮筐中心（不考虑篮球大小和篮球的反弹).
　探究一:若出手的角度、力度和度都不变　则小明朝着篮球架再向前移动多少米后投篮能将
　　　　篮球投至篮筐中心？
　探究二:若出手的角度、力度和高度都发生改变但是抛物线的顶点位置及球出手时与篮筐中
　　　　心的水平距离不变，则小明　出手的高度需要增加多少米才能将篮球投至篮筐中心？
　

答案： 解:
∵抛物线的顶点坐标为(4,4)，
∴设抛物线的表达式为y = a(x - 4)² + 4.
∵抛物线过点(0,2)，
∴2 = 16a + 4.
∴a = - 1/8.
∴y = - 1/8(x - 4)² + 4.
当x = 7时，y = - 9/8 + 4 = 23/8 ≠ 3，
∴此球不能投至篮筐中心.
探究一:设向前移动h米.
由题意可得
y = - 1/8(x - 4 - h)² + 4.
代入点(7,3)，
得3 = - 1/8(7 - 4 - h)² + 4.
解得h₁ = 3 - 2√2，h₂ = 3 + 2√2(不合题意，舍去).
即向前移动(3 - 2√2)米，可投至篮筐中心.
探究二:设y = m(x - 4)² + 4.
投于篮筐中心，即代入点(7,3)，
得3 = m(7 - 4)² + 4.解得m = - 1/9.
∴y = - 1/9(x - 4)² + 4.
当x = 0时，y = 20/9，20/9 - 2 = 2/9.
即小明出手的高度要增加2/9米，可将篮球投至篮筐中心.

28.(10分)某产品每件成本为25元，经过市场调研发现，这种产品在未来20天内的日销售量m(单位:件)是关于时间t(单位:天)的一次函数，调研所获的部分数据如表:
　　　　　　　　　
　这20天中,该产品每天的售价y(单位:元/件)与时间t(单位;天)的函数解析式为　=$\frac{1}{4}$t+30(t为正整数).　失的
　(1)求m关于t的函数解析式
　(2)这20天中哪一天的日销售利润最大？最大日销售利润是多少？
　(3)在实际销售的20天中，每销售一件商品就捐赠a元(a＜6)给希望工程，通过销售记录发现，这20天中，每天扣除捐赠后的日销售利润随时间t的增大而增大,求a的取值范围.

答案： 28.解:
(1)设m = kt + b(k ≠ 0).
将(2,96)和(3,94)代入，得{2k + b = 96，3k + b = 94.
解得{k = - 2，b = 100.
∴m关于t的函数解析式为m = - 2t + 100.
(2)设日销售利润为w元.根据题意，得
w = (1/4t + 30 - 25)(- 2t + 100).
化简，得w = - 1/2t² + 15t + 500.
∵ - 1/2＜0，对称轴为
t = - 15/(2×(-1/2)) = 15，
∴当t = 15时，w最大.
此时w = - 1/2×15² + 15×15 + 500
= 612.5.
答:第15天的日销售利润最大，为612.5元.
(3)设每天扣除捐赠后的日销售利润为n元.根据题意，得
n = (1/4t + 30 - 25 - a)(- 2t + 100)
= - 1/2t² + (15 + 2a)t + 100(5 - a).
∴对称轴为t = -(15 + 2a)/(2×(-1/2)) = 15 + 2a.
∵ - 1/2＜0，
∴抛物线开口向下.
∵要使每天扣除捐赠后的日销售利润随时间t的增大而增大，
∴15 + 2a ≥ 20，解得a ≥ 2.5.
又a＜6，
∴2.5 ≤ a＜6.
答:a的取值范围是2.5 ≤ a＜6.