《2025年诚成教育学业评价九年级数学全一册人教版》

27. (10 分)“互联网 +”时代，网上购物备受消费者青睐.某网店专售一款休闲裤，其成本为每条 40 元，当售价为每条 80 元时，每月可销售 100 条.为了吸引更多顾客，该网店采取降价措施，据市场调查反映：销售单价每降 1 元，则每月可多销售 5 条.设每条裤子的售价为$x$元（$x$为正整数），每月的销售量为$y$条.
(1) 直接写出$y$与$x$之间的函数关系式；
(2) 设该网店每月获得的利润为$w$元，当销售单价降低多少元时，每月获得的利润最大？最大利润是多少？
(3) 该网店店主热心公益事业，决定每月从利润中捐出 200 元资助贫困学生，为了保证捐款后每月利润不低于 4220 元，且让消费者得到最大的实惠，该如何确定休闲裤的销售单价？

答案： 解:
(1)y=−5x+500.
(2)根据题意，得
w=(x−40)(−5x+500)=−5x²+700x−20000 =−5(x−70)²+4500.
∵−5＜0，
∴w有最大值，即当x=70时，
w最大=4500.
80−70=10(元).
故当销售单价降低10元时，每月获得的利润最大，最大利润为4500元.
(3)根据题意，得
−5(x−70)²+4500=4220+200.
解得x₁=66，x₂=74.
∵抛物线w=−5(x−70)²+4500的开口向下，对称轴为x=70，
∴当66≤x≤74时，能够保证捐款后每月利润不低于4220元.
为了让消费者得到最大的实惠，x应取66.
故当销售单价定为66元时，能够保证捐款后每月利润不低于4220元，且能让消费者得到最大的实惠.

28. (10 分)新理念 综合探究性试题 矩形$OABC$在平面直角坐标系中的位置如图所示，线段$OA$，$OC$的长是方程$x^{2}-14x + 48 = 0$的两根，且$OA＞OC$，点$D$在$BC$上，$S_{\triangle ACD}=6$，直线$l$平分矩形$OABC$的面积.
(1) 求点$D$的坐标；
(2) 若直线$l$经过点$D$，求直线$l$的解析式；
(3) 在(2)的条件下，$M$为直线$AD$上一点，在直线$l$上是否存在点$N$，使以$O$，$C$，$M$，$N$为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点$N$的坐标；若不存在，请说明理由.

答案： 解:
(1)由x²−14x+48=0，得(x−6)(x−8)=0.
解得x₁=6，x₂=8.
∵OA＞OC，
∴OA=8，OC=6.
∵S△ACD=$\frac{1}{2}$OC·CD=6，
∴$\frac{1}{2}$×6CD=6.
∴CD=2.
∴D(2,6).
(2)
∵直线l平分矩形OABC的面积，
∴直线l经过点(4,3).
设直线l的解析式为y=kx+b(k≠0).
将点(4,3)和点D(2,6)代入，
得$\begin{cases}4k + b = 3\\2k + b = 6\end{cases}$
解得$\begin{cases}k = -\frac{3}{2}\\b = 9\end{cases}$
∴直线l的解析式为y=−$\frac{3}{2}$x+9.
(3)存在.N₁(−10,24)，N₂(14,−12)，N₃(22,−24).