《2025年诚成教育学业评价九年级数学全一册人教版》

26. (8分)如图所示的是一座抛物线的拱桥，拱桥在竖直平面内与水平桥相交于$A$，$B$两点，拱桥最高点$C$到$AB$的距离为9m，$AB = 36$m，$D$，$E$为拱桥底部的两点，$DE// AB$.
(1)以$C$为原点，以抛物线的对称轴为$y$轴建立平面直角坐标系，求出此时抛物线的解析式(忽略自变量的取值范围)；
(2)若$DE = 48$m，求点$E$到直线$AB$的距离

答案：
解：
(1) 由题意建立如图所示的平面直角坐标系，$AB// x$ 轴，$AB$ 的垂直平分线为 $y$ 轴.
设 $AB$ 与 $y$ 轴交于点 $H$.
$\because AB = 36\ m$，
$\therefore BH = 18\ m$.
又 $CH = 9\ m$，
$\therefore B(18,-9)$.
设抛物线的解析式为 $y = ax^2(a\neq0)$.
把点 $B$ 的坐标代入抛物线的解析式，得
$-9 = 18^2a$.
解得 $a = -\frac{1}{36}$.
$\therefore$ 抛物线的解析式为 $y = -\frac{1}{36}x^2$.
(2) 如图，设 $DE$ 交 $y$ 轴于点 $G$.
$\because DE = 48\ m$，
$\therefore EG = 24\ m$.
当 $x = 24$ 时，$y = -\frac{1}{36}\times24^2 = -16$.
$\because -9 - (-16) = -9 + 16 = 7$，
$\therefore$ 点 $E$ 到直线 $AB$ 的距离为 7 m.

27. (10分)新理念 综合探究性试题 如图，在平面直角坐标系中，$O$为坐标原点，抛物线$y = x^{2}+bx + c$交$x$轴于$A$，$B$两点，交$y$轴于点$C$，过点$A$的直线$y = -x - 1$交$y$轴于点$E$，交抛物线于点$F$，点$F$的横坐标是1.
(1)求$b$和$c$的值；
(2)动点$D$在第二象限的抛物线上，过点$D$作$y$轴的平行线交直线$AF$于点$L$，交$x$轴于点$T$，设点$D$的横坐标为$t$，线段$DL$的长为$d$，求$d$与$t$之间的函数关系式.

答案： 解：
(1) 对于直线 $y = -x - 1$，当 $y = 0$ 时，$x = -1$，
$\therefore A(-1,0)$.
当 $x = 1$ 时，$y = -2$，
$\therefore F(1,-2)$.
把点 $A(-1,0)$，$F(1,-2)$ 代入 $y = x^2 + bx + c$，得 $\begin{cases}0 = 1 - b + c\\-2 = 1 + b + c\end{cases}$.
解得 $\begin{cases}b = -1\\c = -2\end{cases}$.
(2) $\because$ 点 $D$ 的横坐标是 $t$，
$\therefore D(t,t^2 - t - 2)$，$L(t,-t - 1)$.
$\therefore DT = t^2 - t - 2$，$LT = -t - 1$.
$\therefore DL = DT - LT$
$= t^2 - t - 2 - (-t - 1)$
$= t^2 - 1$.