《2025年诚成教育学业评价九年级数学全一册人教版》

22. (6分)先化简，再求值：$(\frac{a^{2}-4}{a^{2}-4a + 4}-\frac{1}{2 - a})\div\frac{2}{a^{2}-2a}$，其中$a$是方程$x^{2}+3x + 1 = 0$的根.

答案： 解:原式$=\frac{a^{2}+3a}{2}$.
$\because a$是方程$x^{2}+3x + 1 = 0$的根，
$\therefore a^{2}+3a=-1$.
$\therefore$原式$=-\frac{1}{2}$.

23. (6分)已知$x_{1},x_{2}$是关于$x$的一元二次方程$x^{2}-6x + k = 0$的两个实数根，且$x_{1}^{2}x_{2}^{2}-x_{1}-x_{2}=115$.
(1)求$k$的值；
(2)求$x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+8$的值.

答案： 解:
(1) $\because x_{1},x_{2}$是方程$x^{2}-6x + k = 0$的两个实数根，
$\therefore x_{1}+x_{2}=6,x_{1}x_{2}=k$.
$\because x_{1}^{2}x_{2}^{2}-x_{1}-x_{2}=115$，
$\therefore k^{2}-6 = 115$.
解得$k_{1}=11,k_{2}=-11$.
当$k_{1}=11$时，
$\Delta=36 - 4k=36 - 44\lt0$，
$\therefore k_{1}=11$不合题意，舍去;
当$k_{2}=-11$时，
$\Delta=36 - 4k=36 + 44\gt0$，
$\therefore k_{2}=-11$符合题意.
$\therefore k$的值为 -11.
(2) $\because x_{1}+x_{2}=6,x_{1}x_{2}=-11$，
$\therefore x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+8$
$=(x_{1}+x_{2})^{2}-2x_{1}x_{2}+8$
$=36 + 2\times11+8 = 66$.