《2025年诚成教育学业评价九年级数学全一册人教版》

22. (6分)已知关于$x$的一元二次方程$(k - 1)x^{2}-(k - 1)x+\frac{1}{4}=0$有两个相等的实数根.
(1)求$k$的值；
(2)求该方程的根.

答案： 解:
(1)
∵关于x的方程$(k - 1)x^{2}-(k - 1)x+\frac{1}{4}=0$有两个相等的实数根，
　
　
∴$\Delta =b^{2}-4ac$
　　　　　　　$=[-(k - 1)]^{2}-4\times(k - 1)\times\frac{1}{4}$
　　　　　　　$=0$.
　　　　　即$(k - 1)^{2}-(k - 1)=0$.
　　　　　解得$k = 2$或$k = 1$.
　
　
∵原方程是一元二次方程，
　
　
∴$k\neq1$，即$k = 2$.
(2)当$k = 2$时，原方程为$x^{2}-x+\frac{1}{4}=0$.
　　　　解得$x_{1}=x_{2}=\frac{1}{2}$.

23. (6分)如图，要设计一个长为15 cm，宽为10 cm的矩形图案，其中有两横两竖的彩条，横、竖彩条的宽度之比为5∶4，若使所有彩条所占面积是原来矩形图案面积的三分之一，应如何设计每个彩条的宽度？

答案： 解:设每个横彩条的宽度为$5x$cm，则每个竖彩条的宽度为$4x$cm.依题意，得
　　　$(15 - 2\times5x)(10 - 2\times4x)=15\times10\times(1-\frac{1}{3})$.
　　　整理,得$8x^{2}-22x + 5 = 0$.
　　　解得$x_{1}=\frac{5}{2},x_{2}=\frac{1}{4}$.
　　　当$x=\frac{5}{2}$时，$10 - 2\times4x=-10\lt0$，不合题意，舍去.
　
∴$x=\frac{1}{4}$.
　
∴$5x=\frac{5}{4},4x = 1$.
　　　答:每个横彩条的宽度为$\frac{5}{4}$cm，每个竖彩条的宽度为1cm.