《2025年诚成教育学业评价九年级数学全一册人教版》

27. (10分)新理念探究性试题 四边形ABCD内接于⊙O,连接BO,BO平分∠ABC。
(1)如图①,求证AB = BC;
(2)如图②,连接BD,点E在BD上,过点E作EP//AD交CD于点P,且DP = DE,求证:△DPE是等边三角形。

答案： 证明：
(1) 连接 $OA$，$OC$.
$\because BO$ 平分 $\angle ABC$，
$\therefore \angle OBA=\angle OBC$.
$\because OB = OA = OC$，
$\therefore \angle OCB=\angle OAB=\angle OBA=\angle OBC$.
$\therefore \angle BOC=\angle BOA$.
$\therefore AB = BC$.
(2) $\because AB = BC$，
$\therefore \overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{BC}$.
$\therefore \angle BDC=\angle BDA$.
$\because EP// AD$，
$\therefore \angle PED=\angle ADB$.
$\therefore \angle BDC=\angle PED$.
$\therefore PE = PD$.
$\because DP = DE$，
$\therefore PE = DE = PD$.
$\therefore \triangle DPE$ 是等边三角形.

28. (10分)如图,抛物线y = ax² + 2x + c的对称轴是x = 1,与x轴交于点A,B(3,0),与y轴交于点C,连接AC。
(1)求此抛物线的解析式;
(2)已知D是第一象限内抛物线上的一个动点,过点D作DM⊥x轴,垂足为M,DM交直线BC于点N,是否存在这样的点N,使得以A,C,N为顶点的三角形是等腰三角形？若存在,请求出点N的坐标;若不存在,请说明理由;
(3)已知E是抛物线对称轴上的点,在坐标平面内是否存在点F,使以B,C,E,F为顶点的四边形为矩形？若存在,请直接写出点F的坐标;若不存在,请说明理由。

答案：
(1) $\because$ 抛物线 $y = ax^{2}+2x + c$ 的对称轴是 $x = 1$，与 $x$ 轴交于点 $A$，$B(3,0)$，
$\therefore A(-1,0)$.
$\therefore \begin{cases}a - 2 + c = 0,\\9a + 6 + c = 0.\end{cases}$
解得 $\begin{cases}a = -1,\\c = 3.\end{cases}$
$\therefore$ 抛物线的解析式为 $y=-x^{2}+2x + 3$.
(2) $\because y=-x^{2}+2x + 3$，
$\therefore C(0,3)$.
$\therefore$ 设直线 $BC$ 的解析式为 $y = kx + 3$.
将点 $B(3,0)$ 代入，得 $0 = 3k + 3$.
解得 $k = -1$.
$\therefore$ 直线 $BC$ 的解析式为 $y=-x + 3$.
设点 $D$ 的坐标为 $(t,-t^{2}+2t + 3)(0\lt t\lt3)$，则 $N(t,-t + 3)$.
$\because A(-1,0),C(0,3)$，
$\therefore AC^{2}=1^{2}+3^{2}=10$，
$AN^{2}=(t + 1)^{2}+(-t + 3)^{2}=2t^{2}-4t + 10$，
$CN^{2}=t^{2}+(3 + t - 3)^{2}=2t^{2}$.
① 当 $AC = AN$ 时，$AC^{2}=AN^{2}$，
$\therefore 10 = 2t^{2}-4t + 10$.
解得 $t_{1}=2,t_{2}=0$（不合题意，舍去）.
$\therefore$ 点 $N$ 的坐标为 $(2,1)$；
② 当 $AC = CN$ 时，$AC^{2}=CN^{2}$，
$\therefore 10 = 2t^{2}$.
解得 $t_{1}=\sqrt{5},t_{2}=-\sqrt{5}$（不合题意，舍去）.
$\therefore$ 点 $N$ 的坐标为 $(\sqrt{5},3-\sqrt{5})$；
③ 当 $AN = CN$ 时，$AN^{2}=CN^{2}$，
$\therefore 2t^{2}-4t + 10 = 2t^{2}$.
解得 $t=\frac{5}{2}$.
$\therefore$ 点 $N$ 的坐标为 $(\frac{5}{2},\frac{1}{2})$.
综上，存在. 点 $N$ 的坐标为 $(2,1)$ 或 $(\sqrt{5},3-\sqrt{5})$ 或 $(\frac{5}{2},\frac{1}{2})$.
(3) 存在. 点 $F$ 的坐标为 $(2,\frac{3 - \sqrt{17}}{2})$ 或 $(2,\frac{3 + \sqrt{17}}{2})$ 或 $(4,1)$ 或 $(-2,1)$.