《2025年诚成教育学业评价九年级数学全一册人教版》

24. (6分)如图，在正方形$ABCD$中，$M$是$AD$的中点，$BE = 3AE$，试求$\angle ECM$的三个三角函数值.

答案： 解:设$AE = x(x\gt0)$，
则$BE = 3x,BC = CD = 4x$，
$AM = MD = 2x$.
$\therefore EC=\sqrt{(3x)^2+(4x)^2}=5x$，
$EM=\sqrt{x^2+(2x)^2}=\sqrt{5}x$，
$CM=\sqrt{(2x)^2+(4x)^2}=2\sqrt{5}x$.
$\therefore EM^2 + CM^2 = CE^2$.
$\therefore\triangle CEM$是直角三角形，$\angle EMC = 90^{\circ}$.
$\therefore\sin\angle ECM=\frac{EM}{CE}=\frac{\sqrt{5}x}{5x}=\frac{\sqrt{5}}{5}$，
$\cos\angle ECM=\frac{CM}{CE}=\frac{2\sqrt{5}x}{5x}=\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
$\tan\angle ECM=\frac{EM}{CM}=\frac{\sqrt{5}x}{2\sqrt{5}x}=\frac{1}{2}$.

25. (8分)如图，在$Rt\triangle ABC$中，$\angle A = 90^{\circ}$，$BC$的垂直平分线交$AC$于点$D$，延长$AC$至$E$，使$CE = AB$.
(1)若$AE = 1$，求$\triangle ABD$的周长；
(2)若$AD=\frac{1}{3}BD$，求$\tan\angle ABC$的值.

答案： 解:
(1) $\because$点$D$在线段$BC$的垂直平分线上，
$\therefore BD = CD$.
又$CE = AB$，
$\therefore\triangle ABD$的周长$=AB + AD + BD$
$=CE + AD + DC$
$=AE$
$=1$.
故$\triangle ABD$的周长为$1$.
(2) 设$AD = x(x\gt0)$.
$\because AD=\frac{1}{3}BD$，
$\therefore BD = 3x$.
又$BD = CD$，
$\therefore AC = AD + CD = 4x$.
在$Rt\triangle ABD$中，
$AB=\sqrt{BD^2 - AD^2}$
$=\sqrt{(3x)^2 - x^2}$
$=2\sqrt{2}x$.
$\therefore\tan\angle ABC=\frac{AC}{AB}=\frac{4x}{2\sqrt{2}x}=\sqrt{2}$.

26. (8分)某地修建一座以“讲袁隆平故事，厚植种子情怀”为主题的半径为800 m的圆形纪念园.如图，纪念园的中心点$A$位于$C$村西南方向和$B$村南偏东$60^{\circ}$方向上，$C$村在$B$村的正东方，且两村相距2.4 km.有关部门计划在$B$，$C$两村之间修一条笔直的公路来连接两村.问该公路是否穿过纪念园？试通过计算加以说明.(参考数据：$\sqrt{3}\approx1.73$，$\sqrt{2}\approx1.41$)

答案：
解:如图，过点$A$作$AD⊥BC$于点$D$.
由题意知，$\angle ABC = 90^{\circ}-60^{\circ}=30^{\circ}$，
$\angle ACD = 45^{\circ}$，
$\therefore BD=\sqrt{3}AD,CD = AD$.
$\because BC = 2.4\ km = 2400\ m$，
$\therefore\sqrt{3}AD + AD = 2400$.
$\therefore AD = 1200(\sqrt{3}-1)\approx876(m)$.
$\because 876\gt800$，
$\therefore$该公路没有穿过纪念园.

27. (10分)新理念 项目性试题 北京冬奥会的成功举办激发了人们对冰雪运动的热情.如图是某滑雪场的横截面示意图，雪道分别为$AB$，$BC$两部分，小明同学在点$C$处测得雪道$BC$的坡度$i = 1:2.4$，在点$A$处测得点$B$的俯角$\angle DAB = 30^{\circ}$.若雪道$AB$长为270 m，雪道$BC$长为260 m.
(1)求该滑雪场的高度$h$；
(2)据了解，该滑雪场要用两种不同的造雪设备来满足对于雪量和雪质的不同要求，其中甲设备每小时造雪量比乙设备少$35\ m^{3}$，且甲设备造雪$150\ m^{3}$所用的时间与乙设备造雪$500\ m^{3}$所用的时间相等.求甲、乙两种设备每小时的造雪量.

答案：
解:
(1) 如图，过点$B$作$BF// AD$，过点$A$作$AF\perp AD$，两直线交于点$F$，过点$B$作$BE$垂直地面于点$E$.
根据题意，得$\angle ABF=\angle DAB = 30^{\circ}$.
$\therefore AF=\frac{1}{2}AB = 135$.
$\because BC$的坡度$i = 1:2.4$，
$\therefore BE:CE = 1:2.4$.
设$BE = t$，则$CE = 2.4t$.
$\because BE^2 + CE^2 = BC^2$，
$\therefore t^2+(2.4t)^2 = 260^2$.
解得$t = 100$(舍去负值).
$\therefore h = AF + BE = 235(m)$.
答：该滑雪场的高度$h$为$235\ m$.

(2) 设甲种设备每小时的造雪量是$x\ m^3$，则乙种设备每小时的造雪量是$(x + 35)m^3$.
根据题意，得
$\frac{150}{x}=\frac{500}{x + 35}$.解得$x = 15$.
经检验$x = 15$是原方程的解，且符合题意.
$\therefore x + 35 = 50$.
答：甲种设备每小时的造雪量是$15\ m^3$，乙种设备每小时的造雪量是$50\ m^3$.

28. (10分)新理念 阅读理解试题 阅读下列材料，并完成相应的任务.
我们所学的锐角三角函数反映了直角三角形中的边角关系：
如图①，$\sin\alpha=\frac{BC}{AB}$，$\cos\alpha=\frac{AC}{AB}$，$\tan\alpha=\frac{BC}{AC}$.
一般地，当$\alpha$，$\beta$为任意角时，$\sin(\alpha+\beta)$与$\sin(\alpha - \beta)$的值可以用下面的公式求得：
$\sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta$；$\sin(\alpha - \beta)=\sin\alpha\cos\beta-\cos\alpha\sin\beta$.
例如：$\sin15^{\circ}=\sin(45^{\circ}-30^{\circ})=\sin45^{\circ}\cos30^{\circ}-\cos45^{\circ}\sin30^{\circ}=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$.
任务：
(1)计算：$\sin75^{\circ}=$________；
(2)如图②，在$\triangle ABC$中，$\angle B = 15^{\circ}$，$\angle C = 45^{\circ}$，$AC = 2\sqrt{3}-2$，求$AB$和$BC$的长.

答案：
解:
(1) $\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4}$.
(2) 如图，过点$A$作$AD⊥BC$于点$D$.
$\because\angle C = 45^{\circ}$，
$\therefore\angle DAC = 45^{\circ}$.
$\therefore AD = CD$.
$\because\sin C=\frac{AD}{AC},AC = 2\sqrt{3}-2$，
$\therefore\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{AD}{2\sqrt{3}-2}$.
$\therefore AD=\sqrt{6}-\sqrt{2}$.
$\therefore CD=\sqrt{6}-\sqrt{2}$.
$\because\angle B = 15^{\circ},\sin B=\frac{AD}{AB}$，
$\therefore\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{AB}$.
$\therefore AB = 4$.
$\because\angle BAD = 90^{\circ}-\angle B = 75^{\circ}$，
$\sin\angle BAD=\frac{BD}{AB}$，
$\therefore\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4}=\frac{BD}{4}$.
$\therefore BD=\sqrt{2}+\sqrt{6}$.
$\therefore BC = BD + CD$
$=\sqrt{2}+\sqrt{6}+\sqrt{6}-\sqrt{2}$
$=2\sqrt{6}$.