《2025年诚成教育学业评价九年级数学全一册人教版》

28. (10分)如图，在矩形$ABCD$中，$AB = 16$ cm，$AD = 6$ cm，动点$P$，$Q$分别从点$A$，$C$同时出发，点$P$以3 cm/s的速度向点$B$移动，点$Q$以2 cm/s的速度向点$D$移动，当点$P$到达点$B$处时，两点均停止移动.
(1)$P$，$Q$两点出发多长时间后，四边形$PBCQ$的面积是$33$ cm²？
(2)$P$，$Q$两点出发多长时间后，线段$PQ$的长度为10 cm？
(3)是否存在某一时刻，使四边形$PBCQ$为正方形？若存在，求出该时刻；若不存在，请说明理由.

答案：
解:
(1)设$P,Q$两点出发$x$ s后，四边形$PBCQ$的面积是33$cm^{2}$.
　　　　由题意，得$(16 - 3x + 2x)\times6\times\frac{1}{2}=33$.
　　　　解得$x = 5$，即$P,Q$两点出发5 s后，四边形$PBCQ$的面积是33$cm^{2}$.
(2)如图，过点$P$作$PH\perp CD$于点$H$.
　
　
∴$PQ^{2}=PH^{2}+HQ^{2}$，
　　　　$PH = AD = 6$ cm.
　　　设$P,Q$两点出发$t$ s后，线段$PQ$的长度为10 cm.
　
∴$10^{2}=6^{2}+(16 - 5t)^{2}$.
　　　解得$t_{1}=\frac{8}{5},t_{2}=\frac{24}{5}$.
　　　即$P,Q$两点出发$\frac{8}{5}$ s或$\frac{24}{5}$ s后，线段$PQ$的长度为10 cm.

(3)不存在.理由:设$P,Q$两点出发$y$ s后，四边形$PBCQ$是正方形，则$PB = CQ = BC$.
　　　当$16 - 3y = 2y$时，
　　　解得$y=\frac{16}{5}$.
　　　此时$CQ = 2y=\frac{32}{5}$ cm $\neq 6$ cm.
　
∴不存在某一时刻，使四边形$PBCQ$为正方形.