《2025年诚成教育学业评价九年级数学全一册人教版》

22. (6分)如图，$D$是$\triangle ABC$的边$AB$上的点，且$BD = 2AD$，已知$CD = 10$，$\sin\angle BCD=\frac{3}{5}$，求边$BC$上的高$AE$的长.

答案： 解:过点$D$作$DF⊥BC$，垂足为$F$，可知$\triangle BFD\sim\triangle BEA$.
$\therefore\frac{DF}{AE}=\frac{BD}{BA}=\frac{2}{3}$.
$\because CD = 10,\sin\angle BCD=\frac{3}{5}$，
$\therefore$在$Rt\triangle DFC$中，
$DF = CD\cdot\sin\angle BCD = 10\times\frac{3}{5}=6$.
$\therefore\frac{6}{AE}=\frac{2}{3}$，解得$AE = 9$.

23. (6分)新理念 项目性试题 海中有一个小岛$P$，它的周围18海里内有暗礁，渔船跟踪鱼群由西向东航行，在点$A$处测得小岛$P$在北偏东$60^{\circ}$方向上，航行12海里到达点$B$，这时测得小岛$P$在北偏东$45^{\circ}$方向上，如果渔船不改变航线继续向东航行，有没有触礁危险？请说明理由($\sqrt{3}\approx1.73$).

答案：
解:有触礁的危险.理由如下:
如图，过点$P$作$PC⊥AB$于点$C$.

$\because$在点$A$处测得小岛$P$在北偏东$60^{\circ}$方向上，$\therefore\angle PAC = 30^{\circ}$.
$\therefore AC=\sqrt{3}PC$.
$\because$在点$B$处测得小岛$P$在北偏东$45^{\circ}$方向上，$\therefore\angle PBC = 45^{\circ}$.
$\therefore BC = PC$.
$\because AB = 12$，
$\therefore 12 + PC=\sqrt{3}PC$.
$\therefore PC = 6\sqrt{3}+6\approx16.38$(海里).
$\because 16.38\lt18$，
$\therefore$有触礁的危险.