《2025年诚成教育学业评价九年级数学全一册人教版》

25. (8分)已知关于$x$的一元二次方程$2x^{2}+(m - 2)x - m = 0$.
(1)求证：不论$m$取何值，方程总有实数根；
(2)当$m = - 9$时，该方程的两个根分别是菱形$ABCD$的两条对角线的长，求菱形$ABCD$的面积.

答案： 解:
(1)证明:
∵$a = 2,b = m - 2,c=-m$，
　
　
　
∴$\Delta =b^{2}-4ac$
　　　　　　　　$=(m - 2)^{2}-4\times2\times(-m)$
　　　　　　　　$=m^{2}-4m + 4 + 8m$
　　　　　　　　$=(m + 2)^{2}$.
　
　
　
∵$(m + 2)^{2}\geq0$，
　
　
　
∴不论$m$取何值，方程总有实数根.
(2)当$m=-9$时，
　　　　该方程为$2x^{2}-11x + 9 = 0$.
　　　　解得$x_{1}=1,x_{2}=\frac{9}{2}$.
　
　
∴菱形$ABCD$的面积为$\frac{1}{2}\times1\times\frac{9}{2}=\frac{9}{4}$.