《2025年新课标教材同步导练八年级数学下册北师大版C版》

5. (2021·苏州)已知两个不等于0的实数$a、b$满足$a + b = 0$，则$\frac{b}{a} + \frac{a}{b}$等于 ( )
A. $- 2$
B. $- 1$
C. 1
D. 2

答案： A

6. 甲、乙二人加工某种零件，甲在$m$天内可以加工$a$个零件，乙在$n$天内加工$b$个零件，若两人同时加工$p$个零件，则需要的天数是 ( )
A. $\frac{pmn}{an + bm}$
B. $\frac{an + bm}{pmn}$
C. $\frac{mn}{p(an + bm)}$
D. $\frac{p(an + bm)}{mn}$

答案： A

7. 计算：$\frac{x^{2}}{x - 1} - \frac{1}{x - 1} =$__________.

答案： $x + 1$

8. (2021·包头)化简：$(\frac{2m}{m^{2} - 4} + \frac{1}{2 - m}) \div \frac{1}{m + 2} =$________.

答案： 1

9. (2020·济宁)已知$m + n = - 3$，则分式$\frac{m + n}{m} \div (\frac{ - m^{2} - n^{2}}{m} - 2n)$的值是______.

答案： $\frac{1}{3}$

10. 甲、乙两地相距$s$km，汽车从甲地到乙地按每小时$v$km的速度行驶，可按时到达；若每小时多行驶$a$km，则汽车可提前_______h到达.

答案： $\frac{as}{v(v + a)}$

11. 观察下列各式：
$\frac{2}{1×3} = \frac{1}{1} - \frac{1}{3}$；$\frac{2}{2×4} = \frac{1}{2} - \frac{1}{4}$；
$\frac{2}{3×5} = \frac{1}{3} - \frac{1}{5}$；…
请利用你所得结论，化简代数式：
$\frac{1}{1×3} + \frac{1}{2×4} + \frac{1}{3×5} + \cdots + \frac{1}{n(n + 2)}$ ($n\geqslant3$，且$n$为整数)，其结果为______

答案： $\frac{3n^{2}+5n}{4(n + 1)(n + 2)}$

12. (1)(2021·大连)计算：
$\frac{a + 3}{a - 3} \cdot \frac{a^{2} + 3a}{a^{2} + 6a + 9} - \frac{3}{a - 3}$.
(2)(2021·重庆)$\frac{x^{2} - 9}{x^{2} + 2x + 1} \div (x + \frac{3 - x^{2}}{x + 1})$.
(3)(2021·南京)计算：
$(\frac{a}{b^{2} + ab} - \frac{2}{a + b} + \frac{b}{a^{2} + ab}) \div \frac{a - b}{ab}$.

答案：
(1) 原式$=\frac{a + 3}{a - 3}\cdot\frac{a(a + 3)}{(a + 3)^{2}}-\frac{3}{a - 3}$
$=\frac{a}{a - 3}-\frac{3}{a - 3}=\frac{a - 3}{a - 3}=1$
(2) 原式$=\frac{(x + 3)(x - 3)}{(x + 1)^{2}}\div(\frac{x^{2}+x}{x + 1}+\frac{3 - x^{2}}{x + 1})$
$=\frac{(x + 3)(x - 3)}{(x + 1)^{2}}\div\frac{x + 3}{x + 1}$
$=\frac{(x + 3)(x - 3)}{(x + 1)^{2}}\cdot\frac{x + 1}{x + 3}=\frac{x - 3}{x + 1}$
(3) 原式$=[\frac{a}{b(a + b)}-\frac{2}{a + b}+\frac{b}{a(a + b)}]\cdot\frac{ab}{a - b}=\frac{a^{2}-2ab + b^{2}}{ab(a + b)}\cdot\frac{ab}{a - b}=\frac{(a - b)^{2}}{ab(a + b)}\cdot\frac{ab}{a - b}$
$=\frac{a - b}{a + b}$