《2025年新课标教材同步导练八年级数学下册北师大版C版》

11. 一组同学在校门口拍一张合影，已知冲一张底片需要0.6元，洗一张照片需要0.4元，每人都得到一张照片，每人平均分摊的钱不多于0.8元，那么参加合影的同学至少有几人? (只列关系式)

答案： 设参加合影的同学有$x$人，则$x$应满足的关系为：$0.6 + 0.4x\leq0.8x$

12. 比较下面四个算式结果的大小(在横线上选填“＞”“＜”“ = ”).
$4^{2}+5^{2}$______$2×4×5$；
$(-1)^{2}+2^{2}$______$2×(-1)×2$；
$(\sqrt{3})^{2}+(\frac{1}{3})^{2}$______$2×\sqrt{3}×\frac{1}{3}$；
$3^{2}+3^{2}$______$2×3×3$；
通过观察归纳，写出反映这种规律的一般结论：______________________.

答案： $＞,＞,＞,=$. 一般结论为$a^{2}+b^{2}\geq2ab$.

13. (2020·自贡)我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”，数形结合是解决数学问题的重要思想方法. 例如，代数式$|x - 2|$的几何意义是数轴上$x$所对应的点与2所对应的点之间的距离：因为$|x + 1| = |x - (-1)|$，所以$|x + 1|$的几何意义就是数轴上$x$所对应的点与 - 1所对应的点之间的距离.
(1)发现问题：代数式$|x + 1| + |x - 2|$的最小值是多少?
(2)探究问题：如图，点$A$、$B$、$P$分别表示数 - 1、2、$x$，$AB = 3$.

∵$|x + 1| + |x - 2|$的几何意义是线段$PA$与$PB$的长度之和，
∴当点$P$在线段$AB$上时，$PA + PB = 3$，当点$P$在点$A$的左侧或点$B$的右侧时，$PA + PB ＞ 3$.
∴$|x + 1| + |x - 2|$的最小值是3.
(3)解决问题：
①$|x - 4| + |x + 2|$的最小值是________；
②利用上述思想方法解不等式：$|x + 3| + |x - 1| ＞ 4$；
③当$a$为何值时，代数式$|x + a| + |x - 3|$的最小值是2.

答案：
解：
(3)① 6；
②如图所示，满足$|x + 3|+|x - 1|=|x - (-3)|+|x - 1|＞4$，表示到 - 3 和 1 距离之和大于 4 的范围，当点在 - 3 和 1 之间时，距离之和为 4，不满足题意；当点在 - 3 的左边或 1 的右边时，距离之和大于 4，则$x$范围为$x ＜ - 3$或$x＞1$；

③当$a$为 - 1 或 - 5 时，代数式$|x + a|+|x - 3|$的最小值是 2.