《2025年新课标教材同步导练八年级数学下册北师大版C版》

14. 已知分式$\frac{x - b}{2x + a}$，当$x = 2$时，分式的值为零；当$x = - 2$时，分式没有意义. 求$a + b$的值.

答案： $\because x = 2$时，分式的值为零，$\therefore 2 - b = 0$，$b = 2$。
$\because x = -2$时，分式没有意义，
$\therefore 2\times(-2)+a = 0$，$a = 4$。$\therefore a + b = 6$。

15. 已知$a - b - 3ab = 0$，求分式$\frac{a - 6ab - b}{2a + 3ab - 2b}$的值.

答案： 由$a - b - 3ab = 0$，得$a - b = 3ab$，则
$\frac{a - 6ab - b}{2a + 3ab - 2b}=\frac{a - b - 6ab}{2(a - b)+3ab}$
$=\frac{3ab - 6ab}{2\times3ab + 3ab}=\frac{-3ab}{9ab}=-\frac{1}{3}$。

16. 阅读下列解题过程：
已知$\frac{x}{x^{2}+1}=\frac{1}{3}$，求$\frac{x^{2}}{x^{4}+1}$的值.
解：由$\frac{x}{x^{2}+1}=\frac{1}{3}$，知$x\neq0$，所以$\frac{x^{2}+1}{x}=3$，
即$x+\frac{1}{x}=3$.
$\therefore\frac{x^{4}+1}{x^{2}}=x^{2}+\frac{1}{x^{2}}=(x+\frac{1}{x})^{2}-2$
$=3^{2}-2 = 7$.
$\therefore\frac{x^{2}}{x^{4}+1}$的值为7的倒数，即$\frac{1}{7}$.
以上解法中先将已知等式的两边“取倒数”，然后求出特求式子倒数的值，我们把此题的这种解法叫做“倒数法”，请你利用“倒数法”解决下面问题：
(1)已知$\frac{x}{x^{2}-x + 1}=7$，求$\frac{x^{2}}{x^{4}+x^{2}+1}$的值；
(2)已知$\frac{xy}{x + y}=2$，$\frac{yz}{y + z}=\frac{4}{3}$，$\frac{zx}{z + x}=\frac{4}{3}$，求$\frac{xyz}{xy + yz + zx}$的值.

答案：
(1) $\frac{x}{x^{2}-x + 1}=\frac{1}{x+\frac{1}{x}-1}=7$，即$x+\frac{1}{x}=\frac{8}{7}$，
原式$=\frac{1}{x^{2}+\frac{1}{x^{2}}+1}=\frac{1}{(x+\frac{1}{x})^{2}-1}$
$=\frac{1}{\frac{64}{49}-1}=\frac{49}{15}$。
(2) 根据题意，得$\frac{x + y}{xy}=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{2}$，
$\frac{y + z}{yz}=\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\frac{3}{4}$，$\frac{z + x}{zx}=\frac{1}{x}+\frac{1}{z}=\frac{3}{4}$，
$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=1$，
则原式$=\frac{1}{\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}} = 1$。