《2025年新课标教材同步导练八年级数学下册北师大版C版》

16. 某市为创建全国文明城市，开展“美化绿化城市”活动，计划经过若干年使城区绿化总面积新增360万$m^{2}$. 自2013年初开始实施后，实际每年绿化面积是原计划的1.6倍，这样可提前4年完成任务.
(1)问实际每年绿化面积多少万$m^{2}$?
(2)为加大“创城”力度，市政府决定从2016年起加快绿化速度，要求不超过2年完成，那么实际平均每年绿化面积至少还要增加多少万$m^{2}$?

答案：
(1)设原计划每年绿化面积为$x$万$\mathrm{m}^2$，则实际每年绿化面积为$1.6x$万$\mathrm{m}^2$，根据题意，得$\frac{360}{x}-\frac{360}{1.6x}=4$，解得$x = 33.75$，经检验，$x = 33.75$是原分式方程的解，则$1.6x = 1.6\times33.75 = 54$ (万$\mathrm{m}^2$).答:实际每年绿化面积为$54$万$\mathrm{m}^2$.
(2)设平均每年绿化面积增加$a$万$\mathrm{m}^2$，根据题意，得$54\times3 + 2\times(54 + a)\geqslant360$，解得$a\geqslant45$.答:至少每年平均增加$45$万$\mathrm{m}^2$.

17. 某同学准备购买笔和本子送给农村希望小学的同学，在市场上了解到某种本子的单价比某种笔的单价少4元，且用30元买这种本子的数量与用50元买这种笔的数量相同.
(1)求这种笔和本子的单价；
(2)该同学打算用自己的100元压岁钱购买这种笔和本子，计划100元刚好用完，并且笔和本子都买，请列出所有购买方案.

答案：
(1)设这种笔单价为$x$元，则本子单价为$(x - 4)$元.由题意，得$\frac{30}{x - 4}=\frac{50}{x}$，解得$x = 10$.经检验，$x = 10$是原分式方程的解，则$x - 4 = 6$.答略.
(2)设恰好用完$100$元，可购买这种笔$m$支和购买本子$n$本，由题意，得$10m + 6n = 100$，整理，得$m = 10 - \frac{3}{5}n$.
$\because m、n$都是正整数，
$\therefore$①$n = 5$时，$m = 7$；②$n = 10$时，$m = 4$；
③$n = 15$，$m = 1$.$\therefore$有三种方案:
①购买这种笔$7$支，购买本子$5$本；
②购买这种笔$4$支，购买本子$10$本；
③购买这种笔$1$支，购买本子$15$本.

18. (2021·黑龙江)某中学初三学生在开学前去商场购进A、B两款书包奖励班级表现优秀的学生，购买A款书包共花费6 000元，购买B款书包共花费3 200元，且购买A款书包数量是购买B款书包数量的3倍，已知购买一个B款书包比购买一个A款书包多花30元.
(1)求购买一个A款书包、一个B款书包各需多少元?
(2)为了调动学生的积极性，学校在开学后再次购进了A、B两款书包，每款书包不少于14个，总花费恰好为2 268元，且在购买时商场对两款书包的销售单价进行了调整，A款书包销售单价比第一次购买时提高了8%，B款书包按第一次购买时销售单价的九折出售. 求此次A款书包有几种购买方案?
(3)在(2)的条件下，商场这次销售两款书包，单价调整后利润比调整前减少72元，直接写出两款书包的购买方案.

答案： 解:
(1)设购买一个$A$款书包需要$x$元，则购买一个$B$款书包需要$(x + 30)$元，依题意，得$\frac{6000}{x}=3\times\frac{3200}{x + 30}$，解得$x = 50$，经检验，$x = 50$是原方程的解，且符合题意，$\therefore x + 30 = 50 + 30 = 80$ (元).答:购买一个$A$款书包需要$50$元，购买一个$B$款书包需要$80$元.
(2)设购买$m$个$B$款书包，则购买$\frac{2268 - 80\times0.9m}{50\times(1 + 8\%)}=(42 - \frac{4}{3}m)$个$A$款书包，依题意，得$\begin{cases}m\geqslant14\\42 - \frac{4}{3}m\geqslant14\end{cases}$，解得$14\leqslant m\leqslant21$.
又$\because(42 - \frac{4}{3}m)$为整数，$\therefore m$为$3$的倍数，$\therefore m$可以取$15,18,21$，$\therefore$此次$A$款书包有$3$种购买方案.
(3)依题意，得$80\times(1 - 0.9)m - 50\times8\%\times(42 - \frac{4}{3}m)=72$，解得$m = 18$，
$\therefore42 - \frac{4}{3}m = 42 - \frac{4}{3}\times18 = 18$ (个).
答:购买$18$个$A$款书包，$18$个$B$款书包.