《2025年新课标教材同步导练八年级数学下册北师大版C版》

16. (2020·徐州)如图，AC⊥BC，DC⊥EC，AC = BC，DC = EC，AE与BD交于点F.
(1)求证：AE = BD；
(2)求∠AFD的度数.

答案： （1）$\because AC\perp BC$，$DC\perp EC$，$\therefore\angle ACB=\angle DCE = 90^{\circ}$，$\therefore\angle ACE=\angle BCD$，
在$\triangle ACE$和$\triangle BCD$中，$\begin{cases}AC = BC\\\angle ACE=\angle BCD\\CE = CD\end{cases}$
$\therefore\triangle ACE\cong\triangle BCD(SAS)$，$\therefore AE = BD$.
（2）设$BC$与$AE$交于点$N$，$\because\angle ACB = 90^{\circ}$，
$\therefore\angle A+\angle ANC = 90^{\circ}$，$\because\triangle ACE\cong\triangle BCD$，
$\therefore\angle A=\angle B$，$\because\angle ANC=\angle BNF$，
$\therefore\angle B+\angle BNF=\angle A+\angle ANC = 90^{\circ}$，
$\therefore\angle AFD=\angle B+\angle BNF = 90^{\circ}$.

17. 如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，且BD = CD，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F.
(1)求证：AB = AC；
(2)若AD = $2\sqrt{3}$，∠DAC = 30°，求AC的长.

答案： （1）$\because AD$平分$\angle BAC$，$DE\perp AB$于点$E$，$DF\perp AC$于点$F$，
$\therefore DE = DF$，$\angle DEB=\angle DFC = 90^{\circ}$.
在$Rt\triangle DEB$和$Rt\triangle DFC$中，$\begin{cases}BD = DC\\DE = DF\end{cases}$，
$\therefore Rt\triangle DEB\cong Rt\triangle DFC$，$\therefore\angle B=\angle C$，
$\therefore AB = AC$.
（2）$\because AB = AC$，$BD = DC$，
$\therefore AD\perp BC$. 在$Rt\triangle ADC$中，
$\because\angle ADC = 90^{\circ}$，$AD = 2\sqrt{3}$，$\angle DAC = 30^{\circ}$，
$\therefore AC = 2CD$，设$CD = a$，则$AC = 2a$.
$\because AC^{2}=AD^{2}+CD^{2}$，$\therefore 4a^{2}=(2\sqrt{3})^{2}+a^{2}$.
$\because a＞0$，$\therefore a = 2$，$\therefore AC = 2a = 4$.

18. 已知等腰直角三角形ABC的底边为AB，直线l过直角顶点C，过点A、B分别作l的垂线AE、BF，E、F为垂足.

(1)如图甲，当直线l不与底边AB相交时，求证：EF = AE + BF；
(2)将直线l绕点C顺时针旋转，使l交底边AB于点D，且AD ＞ BD，请先在图乙中画出相应的图形，再直接写出EF、AE、BF之间的等量关系.

答案：
（1）$\because\triangle ABC$为等腰直角三角形，
$\therefore\angle ACB = 90^{\circ}$，$AC = BC$. $\because AE\perp l$，$BF\perp l$，
$\therefore\angle AEC=\angle CFB = 90^{\circ}$，
$\therefore\angle ACE+\angle EAC=\angle ACE+\angle FCB = 90^{\circ}$，
$\therefore\angle EAC=\angle FCB$.
在$\triangle AEC$和$\triangle CFB$中，
$\begin{cases}\angle AEC=\angle CFB\\\angle EAC=\angle FCB\\AC = CB\end{cases}$
$ $$\therefore\triangle AEC\cong\triangle CFB$.$\therefore AE = CF$，$EC = FB$，$\therefore EF = CF + EC = AE + BF$.（2）如图，$EF$、$AE$、$BF$之间的等量关系是$EF = AE - BF(\triangle AEC\cong\triangle CFB)$.