《2025年新课标教材同步导练八年级数学下册北师大版C版》

13. (2021·湘西州)如图,在△ABC中,点D在AB边上,CB = CD,将边CA绕点C旋转到CE的位置,使得∠ECA = ∠DCB,连接DE与AC交于点F,且∠B = 70°,∠A = 10°.
(1)求证:AB = ED;
(2)求∠AFE的度数.

答案：
(1)证明：$\because \angle ECA=\angle DCB,\therefore \angle ECA+\angle ACD=\angle DCB+\angle ACD$，即$\angle ECD=\angle ACB$，由旋转可得$CA = CE$，在$\triangle BCA$和$\triangle DCE$中，$\begin{cases}CB = CD\\\angle BCA=\angle DCE\\CA = CE\end{cases}$$\therefore \triangle BCA\cong\triangle DCE(SAS)$。$\therefore AB = ED$；
(2)由
(1)中结论可得$\angle CDE=\angle B = 70^{\circ}$，又$\because CB = CD,\therefore \angle B=\angle CDB = 70^{\circ}$，$\therefore \angle EDA = 180^{\circ}-\angle BDE = 180^{\circ}-70^{\circ}\times2 = 40^{\circ}$，$\therefore \angle AFE=\angle EDA+\angle A = 40^{\circ}+10^{\circ}=50^{\circ}$。