《2025年新课标教材同步导练八年级数学下册北师大版C版》

12. 利用因式分解计算：
(1)$2.1\times31.4 + 62\times3.14+0.17\times314$
(2)$9^{3}-9^{2}-2\times9^{2}$
(3)$2002 + 2002^{2}-2003^{2}$
(4)$\frac{(-2)^{98}+(-2)^{97}}{(-2)^{100}+(-2)^{99}}$

答案：
(1) 314；
(2) 486；
(3) -2003；
(4) $\frac{1}{4}$

13. 计算：
(1)因式分解：$(x - y)(3x - y)+2x(3x - y)$；
(2)设$y = kx$，是否存在实数$k$，使得上式的化简结果为$x^{2}$？求出所有满足条件的$k$的值. 若不能，请说明理由.

答案：
(1) 原式$=(3x - y)(x - y + 2x)$
$=(3x - y)(3x - y)=(3x - y)^2$.
(2) 存在.
将$y = kx$代入上式，得
$(3x - kx)^2=[(3 - k)x]^2=(3 - k)^2x^2$；
令$(3 - k)^2 = 1$，则$3 - k = \pm1$，
解得$k = 4$或 2.

14. 因式分解：$1 + x + x(1 + x)+x(1 + x)^{2}$.
解 原式$=(1 + x)[1 + x + x(1 + x)]$
$=(1 + x)^{2}(1 + x)$
$=(1 + x)^{3}$.
(1)上述因式分解的方法是__________，共用了______次；
(2)若因式分解$1 + x + x(1 + x)+x(1 + x)^{2}+\cdots+x(1 + x)^{2008}$，则需应用上述方法________次，结果是________；
(3)因式分解$1 + x + x(1 + x)+x(1 + x)^{2}+\cdots+x(1 + x)^{n}$($n$为正整数).

答案：
(1) 提公因式法，3；
(2) 2009，$(1 + x)^{2009}$；
(3) $(1 + x)^{n + 1}$.