《2025年新课标教材同步导练八年级数学下册北师大版C版》

11. 仔细阅读下面例题，解答问题：
例题：已知二次三项式$x^{2}-4x + m$有一个因式是$(x + 3)$，求另一个因式以及$m$的值.
解：设另一个因式为$(x + n)$，
得$x^{2}-4x + m=(x + 3)(x + n)$，
则$x^{2}-4x + m=x^{2}+(n + 3)x + 3n$.
$\therefore\begin{cases}n + 3=-4\\m = 3n\end{cases}$，
解得$n=-7$，$m=-21$.
$\therefore$另一个因式为$(x - 7)$，$m$的值为$-21$.
仿照以上方法解答下面问题：
已知二次三项式$2x^{2}+3x - k$有一个因式是$(2x - 5)$，求另一个因式以及$k$的值.

答案： 11. 设另一个因式为$(x + a)$，得
$2x^2 + 3x - k=(2x - 5)(x + a)$，
则$2x^2 + 3x - k = 2x^2 + (2a - 5)x - 5a$，
$\therefore \begin{cases}2a - 5 = 3\\-5a = -k\end{cases}$，
解得$a = 4$，$k = 20$.
故另一个因式为$(x + 4)$，$k$的值为 20.

12. (1)有若干块长方形和正方形硬纸片，如图1. 用若干块这样的硬纸片拼成一个新的长方形，如图2.

①用两种不同的方法，计算图2中长方形的面积；
②由此，可以得出的一个等式为：
(2)有若干块长方形和正方形硬纸片如图3.
①请你用拼图的方法推出一个完全平方公式，画出你的拼图；
②请你用拼图的方法推出$2a^{2}+5ab + 2b^{2}$因式分解的结果，画出你的拼图.

答案：
12.
(1)①长方形的面积$= a^2 + 2a + 1$；长方形的面积$=(a + 1)^2$.
②$a^2 + 2a + 1=(a + 1)^2$.
(2)①如图，可推导出
$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.
②$2a^2 + 5ab + 2b^2=(2a + b)(a + 2b)$.