《2025年新课标教材同步导练八年级数学下册北师大版C版》

14. 先化简，再求值：
$(x - 1 + \frac{3 - 3x}{x + 1}) \div \frac{x^{2} - x}{x + 1}$，其中$x$的值从不等式组$\begin{cases}2 - x\leqslant3 \\ 2x - 4 ＜ 1\end{cases}$的整数解中选取.

答案： 原式$=(\frac{x^{2}-1}{x + 1}+\frac{3 - 3x}{x + 1})\div\frac{x(x - 1)}{x + 1}$
$=\frac{x^{2}-3x + 2}{x + 1}\cdot\frac{x + 1}{x(x - 1)}$
$=\frac{(x - 1)(x - 2)}{x + 1}\cdot\frac{x + 1}{x(x - 1)}=\frac{x - 2}{x}$
解不等式组$\begin{cases}2 - x\leqslant3\\2x - 4\lt1\end{cases}$，得$-1\leqslant x\lt\frac{5}{2}$
$\therefore$不等式组的整数解有$-1,0,1,2$
$\because$分式有意义时$x\neq\pm1,0$
$\therefore x = 2$，则原式$=0$

15. (2021·乐山)已知$\frac{A}{x - 1} - \frac{B}{2 - x} = \frac{2x - 6}{(x - 1)(x - 2)}$，求$A、B$的值.

答案： 解：$\frac{A}{x - 1}-\frac{B}{2 - x}=\frac{A(x - 2)+B(x - 1)}{(x - 1)(x - 2)}=\frac{(A + B)x-2A - B}{(x - 1)(x - 2)}=\frac{2x - 6}{(x - 1)(x - 2)}$
$\therefore\begin{cases}A + B = 2\\-2A - B = - 6\end{cases}$
解得$\begin{cases}A = 4\\B = - 2\end{cases}$

16. 甲、乙两个工程队分别承担一条2km公路的维修工作. 甲队有一半时间每天维修公路$x$km，另一半时间每天维修公路$y$km. 乙队维修前1km公路时，每天维修$x$km；维修后1km公路时，每天维修$y$km($x\neq y$).
(1)求甲、乙两队完成任务需要的时间(用含$x、y$的代数式表示)；
(2)问甲、乙两队哪队先完成任务？

答案：
(1) 甲队完成任务需要的时间为$2\div(\frac{x}{2}+\frac{y}{2})=\frac{4}{x + y}$；乙队完成任务需要的时间为$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{x + y}{xy}$，所以甲、乙两队完成任务需要的时间分别为$\frac{4}{x + y}$天，$\frac{x + y}{xy}$天.
(2) $\frac{4}{x + y}-\frac{x + y}{xy}=\frac{4xy-(x + y)^{2}}{xy(x + y)}=\frac{-(x - y)^{2}}{xy(x + y)}$
$\because x\neq y,x\gt0,y\gt0,\therefore(x - y)^{2}\gt0$，$xy(x + y)\gt0,\therefore-(x - y)^{2}\lt0$
$\therefore\frac{-(x - y)^{2}}{xy(x + y)}\lt0$，即$\frac{4}{x + y}-\frac{x + y}{xy}\lt0$
$\therefore\frac{4}{x + y}\lt\frac{x + y}{xy}$，$\therefore$甲队先完成任务.