《2025年新课标教材同步导练八年级数学下册北师大版C版》

13. 如图，在△ABC中，∠ACB = 90°，BC = 15，AC = 20，CD是高.
(1)求AB的长；
(2)求△ABC的面积；
(3)求CD的长.

答案： （1）$\because$在$\triangle ABC$中，$\angle ACB = 90^{\circ}$，$BC = 15$，$AC = 20$，$\therefore AB^{2}=AC^{2}+BC^{2}$，解得$AB = 25$.
答：$AB$的长是 25.
（2）$S=\frac{1}{2}AC\cdot BC=\frac{1}{2}\times20\times15 = 150$.
答：$\triangle ABC$的面积是 150.
（3）$\because CD$是边$AB$上的高，
$\therefore\frac{1}{2}AC\cdot BC=\frac{1}{2}AB\cdot CD$，
解得$CD = 12$. 答：$CD$的长是 12.

14. 如图，已知AC⊥BC，BD⊥AD，AC与BD交于O，AC = BD. 求证：
(1)BC = AD；
(2)△OAB是等腰三角形.

答案： （1）$\because AC\perp BC$，$BD\perp AD$，$\therefore\angle D=\angle C = 90^{\circ}$.
在$Rt\triangle ACB$和$Rt\triangle BDA$中，$AB = BA$，$AC = BD$，$\therefore\triangle ACB\cong\triangle BDA(HL)$，
$\therefore BC = AD$.
（2）由$\triangle ACB\cong\triangle BDA$，得$\angle CAB=\angle DBA$，
$\therefore OA = OB$，$\therefore\triangle OAB$是等腰三角形.

15. (2021·徐州)如图，将一张长方形纸片ABCD沿EF折叠，使C、A两点重合，点D落在点G处. 已知AB = 4，BC = 8.
(1)求证：△AEF是等腰三角形；
(2)求线段FD的长.

答案： （1）证明：由折叠性质可知，$\angle AEF=\angle CEF$，
由矩形性质可得$AD// BC$，
$\therefore\angle AFE=\angle CEF$，$AD// BC$
$\therefore\angle AEF=\angle AFE$. $\therefore AE = AF$，
故$\triangle AEF$为等腰三角形.
（2）解：由折叠可得$AE = CE$，设$CE = x = AE$，
则$BE = BC - CE = 8 - x$，
$\because\angle B = 90^{\circ}$，在$Rt\triangle ABE$中，有$AB^{2}+BE^{2}=AE^{2}$，即$4^{2}+(8 - x)^{2}=x^{2}$，解得：$x = 5$.
由（1）结论可得$AF = AE = 5$，故$FD = AD - AF = BC - AF = 8 - 5 = 3$.