《2025年新课标教材同步导练八年级数学下册北师大版C版》

【例1】如图，四边形ABCD为平行四边形，∠A + ∠C = 80°，□ABCD的周长为40cm，且AB - BC = 2cm，求□ABCD的各内角的度数和各边长.

答案： $解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠A=∠C而∠A+∠C=80°，∴∠A=40°，∠C=40°∵在▱ABCD中，AD//BC∴∠A+∠B=180°，∴∠B=140°而∠D=∠B，∴∠D=140°∵在▱ABCD中，AB=DC，AD=BC∴2AB+2BC=40，AB+BC=20解方程组{{\begin{cases} {{AB+BC=20}} \\ {AB-BC=2} \end{cases}}}得AB=11cm，BC=9cm∴CD=11cm，AD=9cm$

【例2】已知：如图，□ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，BD⊥AB，AB = 9cm，且△BOC的周长比△AOB的周长多6cm，求AC、BD的长.

答案： 解
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AD = BC，OB = OD = $\frac{1}{2}$BD，OA = OC = $\frac{1}{2}$AC.
∵ (OB + BC + OC) - (OB + AB + AO) = 6，
∴ BC - AB = 6.而AB = 9，
∴ BC = 15，则AD = 15.
∵ BD⊥AB，
∴ ∠ABO = 90°.在Rt△ABD中，BD = $\sqrt{AD^{2}-AB^{2}}$= $\sqrt{15^{2}-9^{2}}$ = 12(cm).在Rt△ABO中，OB = $\frac{1}{2}$BD = 6.
∴ OA = $\sqrt{AB^{2}+OB^{2}}$ = $\sqrt{9^{2}+6^{2}}$ = 3$\sqrt{13}$.
∴ AC = 2OA = 2×3$\sqrt{13}$ = 6$\sqrt{13}$(cm).

【例3】如图，□ABCD中，AE//CF，AE与BD相交于点P，CF与BD相交于点Q，求证：BP = DQ.

答案： 证明 方法1：
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AB = CD，AB//CD，
∴ ∠ABP = ∠CDQ.
∵ AE//CF，
∴ ∠DPE = ∠DQC，又
∵ ∠APB = ∠DPE，
∴ ∠APB = ∠DQC.
∴ △ABP≌△CDQ，
∴ BP = DQ.方法2：
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ BC = AD，BC//AD，
∴ ∠QBC = ∠PDA.
∵ AE//CF，
∴ ∠BQC = ∠APD.
∴ △BCQ≌△DAP，
∴ BQ = PD，
∴ BQ - PQ = PD - PQ，即BP = DQ.方法3：连接AC，与BD相交于点O.
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ OB = OD，OA = OC.
∵ AE//CF，
∴ ∠PAO = ∠QCO.又∠AOP = ∠COQ，
∴ △APO≌△CQO，
∴ OP = OQ，
∴ OB - OP = OD - OQ，即BP = DQ.