《2025年学习检测八年级数学下册华师大版》

6. 在$\square ABCD$ 中，$AB = 12$，$BC = 5$，若使$\square ABCD$ 成为矩形，则 $AC$ 的长为 【 】
A. $13$
B. $\sqrt{119}$
C. $13$ 或$\sqrt{119}$
D. 非以上答案

答案： A

7. 四边形 $ABCD$ 的对角线相交于点 $O$，在下列条件中不能判定它是矩形的是 【 】
A. $AB = CD$，$AB // CD$，$\angle BAD = 90^{\circ}$
B. $AO = CD$，$BO = DO$，$AC = BD$
C. $\angle BAD = \angle ABC = 90^{\circ}$，$\angle BCD + \angle ADC = 180^{\circ}$
D. $\angle BAD = \angle BCD$，$\angle ABC = \angle ADC = 90^{\circ}$

答案： C

8. 如图，$\triangle ABD$ 和$\triangle ACE$ 是等边三角形，四边形 $ADFE$ 是平行四边形，则当 $\angle BAC =$_______ $^{\circ}$ 时，平行四边形 $ADFE$ 是矩形.

答案： 150

9. 在矩形 $ABCD$ 中，$AB = 16$，$BC = 8$. 将矩形沿其对角线 $AC$ 折叠，点 $D$ 落在点 $E$ 处，且 $CE$ 交 $AB$ 于点 $F$，则 $AF =$_____.

答案： 10

10. 如图，在等边三角形 $ABC$ 中，点 $D$ 是 $BC$ 边的中点，以 $AD$ 为边作等边三角形 $ADE$.

(1) 求$\angle CAE$ 的大小；
(2) 取 $AB$ 边的中点 $F$，连接 $CF$，$CE$，试证明四边形 $AFCE$ 是矩形.

答案： （1）
∵点D是等边三角形ABC中BC边的中点，
∴∠DAC = 30°，又
∵△ADE是等边三角形，
∴∠DAE = 60°，
∴∠CAE = ∠DAE - ∠DAC = 30°； （2）由（1）知∠EAF = 90°，由点F是AB的中点知∠CFA = 90°，
∴CF//EA，在等边△ABC中，AD = CF，在等边△ADE中，AD = EA，
∴CF = EA，
∴四边形AFCE为平行四边形，又
∵∠CFA = 90°，
∴四边形AFCE为矩形.

11. 如图，在$\triangle ABC$ 中，点 $O$ 是 $AC$ 边上的一个动点. 过点 $O$ 作直线 $MN // BC$，设 $MN$ 交$\angle BCA$ 的平分线于点 $E$，交$\angle BCA$ 的外角平分线于点 $F$.
(1) 求证：$OE = OF$.
(2) 当点 $O$ 运动到何处时，四边形 $AECF$ 是矩形？证明你的结论.

答案： 提示： （1）证明OE = OC且OF = OC； （2）四边形AECF已具有性质：OE = OF且∠ECF = 90°（因CE，CF分别是∠BCA的内、外角平分线），故只要证OA = OC，即有AECF是矩形，即O点是AC的中点.