《2025年学习检测八年级数学下册华师大版》

15. 如图，矩形 ABCD 中，对角线 AC 和 BD 相交于点 O，AE 平分∠BAD，交 BC 于点 E. 若∠CAE = 15°，求∠BOE 的大小.

答案： 75°

16. 如图，E 是矩形 ABCD 边 AD 上的一点，且 BE = ED，P 是对角线 BD 上任一点，PF⊥BE，PG⊥AD，垂足分别为点 F，G. 试证明：PF + PG = AB.

答案： $使用面积法. 连接PE, 因为S_{△BDE}=S_{△BPE}+S_{△DPE}, 即\frac{1}{2}DE·AB = \frac{1}{2}BE·PF+\frac{1}{2}DE·PG, 又∵BE = DE, ∴AB = PF + PG.$

17. 如图，把矩形 ABCD 的对角线 AC 分成 n 段，以每一段为对角线，作边分别与 AB，BC 平行的小矩形，各小矩形的边长如图中标注所示. 设这 n 个小矩形的周长的和为 m，矩形 ABCD 的周长为 p，则 m 与 p 有什么数量关系? 为什么?

答案： $m与p相等. 理由: 由于小矩形的对角线重合于矩形ABCD的对角线AC, 每个小矩形的水平方向的边都与AB, DC平行, 竖直方向的边都与AD, BC平行, 所以a_{1}+a_{2}+…+a_{n}=AB, b_{1}+b_{2}+…+b_{n}=BC, 所以, m = 2[(a_{1}+a_{2}+…+a_{n})+(b_{1}+b_{2}+…+b_{n})]=2(AB + BC)=p.$