《2025年名校课堂九年级数学下册人教版》

1. 综合与实践：在学习《锐角三角函数》一章时，小邕同学对一个角的倍角的三角函数值与这个角的三角函数值是否有关系产生了浓厚的兴趣，并进行研究.
【初步尝试】我们知道：tan60° = ______，tan30° = ______.
发现：tanA ______ 2tan $\frac{1}{2}$A（填“=”或“≠”）.
【实践探究】在解决“如图1，在Rt△ABC中，∠C = 90°，AC = 2，BC = 1，求tan $\frac{A}{2}$的值”这一问题时，小邕想构造包含$\frac{\angle A}{2}$的直角三角形，延长CA到点D，使DA = AB，连接BD，所以可得∠D = $\frac{1}{2}$∠BAC，问题即转化为求∠D的正切值，请按小邕的思路求tan $\frac{A}{2}$的值.
【拓展延伸】如图2，在Rt△ABC中，∠C = 90°，AC = 3，tanA = $\frac{1}{3}$. 请模仿小邕的思路或者用你的新思路，试着求tan2A的值.

答案： 解:[初步尝试]$\sqrt{3}$　$\frac{\sqrt{3}}{3}$　≠　[实践探究]在Rt△ABC中，∠C=90°,AC=2,BC=1,
∴AB=　$\sqrt{AC+BC}$=$\sqrt{5}$.由题意，得DA=AB=$\sqrt{5}$,
∴∠D=∠ABD.
∴∠BAC=2∠D,CD =AD+AC=2+$\sqrt{5}$
∴tan$\frac{A}{2}$=tanD=$\frac{BC}{CD}$=$\sqrt{5}$−2.[拓展延伸]作AB的垂直平分线交AC于点E，连接BE，则AE=BE,
∴∠A=∠ABE,∠BEC=2∠A.在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=3,tanA=$\frac{1}{3}$.
∴BC=1,AB=　$\sqrt{AC+BC}$=　$\sqrt{10}$设AE=x,则EC=3−x,在Rt△EBC中,x²=(3−x)²²+1,解得x=$\frac{5}{3}$..
∴AE=BE=$\frac{5}{3}$,EC=$\frac{4}{3}$.
∴tan2A=tan∠BEC =$\frac{BC}{CE}$=$\frac{3}{4}$.

2.(1)观察与猜想:已知当0°＜α＜60°时,下列关系式有且只有一个正确，正确的是(　　　)
A.2sin(30°+α)=sinα十$\sqrt{3}$
B.2sin(30°+α)=2sinα+$\sqrt{3}$
C.2sin(30°+α)=$\sqrt{3}$sinα+cosα.
(2)探究与证明:如图1,在△ABC中，∠A = α,∠B = 30°,AC = 1,请利用图1证明(1)中你猜想的结论.
(3)应用新知识解决问题:
两块分别含有45°和30°的直角三角板按如图2所示的方式摆放在同一平面内，BD = 8$\sqrt{2}$,求△ABC的面积.

答案： 解:
(1)C　
(2)过点A作AM⊥BM,交BC的延长线于点M，过点C作CE⊥AB于点E.
∵∠AMB=90°,∠B=30°,
∴AB =2AM.在Rt△ACM中,AC=1,∠ACM=∠B+∠BAC=30°+α.
∴AM=AC.sin∠ACM=sin(30°+α).则AB=2sin(30°+α).在Rt△AEC中,EC=AC.sina=sinα,AE=AC.cosα=cosα.在Rt△BEC中,BE=taCn3E0°=$\sqrt{3}$CE=$\sqrt{3}$sina.
∵AB=BE+AE=$\sqrt{3}$sina+cosα,
∴2sin(30°+α)=$\sqrt{3}$sina+cosα.
(3)
∵∠ABD=45°,∠CBD=30°,
∴2sin(30°+45°)=$\sqrt{3}$sin45°+cos45°=$\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2}$.
∴sin75°=$\frac{\sqrt{6}+√2}{4}$.过点A 作AH⊥BC于点H，在等腰直角三角形ABD中，BD=8$\sqrt{2}$
∴AB=AD=8.在Rt△BCD中,BD=8$\sqrt{2}$
∴CD=4$\sqrt{2}$,BC =√BD²−CD=4$\sqrt{6}$在Rt△ABH中,sin75°=$\frac{AH}{AB}$，.
∴AH =8×$\frac{\sqrt{6}+√2}{4}$=2$\sqrt{6}$+2$\sqrt{2}$则S△ABC=$\frac{1}{2}$BC.AH=$\frac{1}{2}$×4$\sqrt{6}$×(2$\sqrt{6}$+2$\sqrt{2}$)=24+8$\sqrt{3}$