《2025年名校课堂九年级数学下册人教版》

11.式子2cos30° - tan45° - $\sqrt{(1 - \tan60^{\circ})^2}$的值是（ ）
A.2$\sqrt{3}$ - 2
B.0
C.2$\sqrt{3}$
D.2

答案： B

12.（2024·商丘模拟）在△ABC中，若|sinA - $\frac{1}{2}$| + ($\frac{\sqrt{3}}{2}$ - cosB)² = 0，则∠C的度数是（ ）
A.120°
B.105°
C.75°
D.45°

答案： A

13.若正比例函数y = $\frac{\sqrt{3}}{3}x$的图象与x轴的夹角为锐角α，则α = ______。

答案： 30°

14.如图，点O在△ABC内，且到三边的距离相等。若∠BOC = 120°，则tanA的值为______。

答案： $\sqrt{3}$

15.计算：（ - 1）²⁰²⁵ + $\sqrt{12}\sin45^{\circ}$ + tan60° - $\sqrt{8}\sin60^{\circ}$ + (π - 3)⁰。

答案： 解:原式=−1+2$\sqrt{3}$×$\frac{\sqrt{2}}{2}$+$\sqrt{3}$−2$\sqrt{2}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$+1=−1+$\sqrt{6}$+$\sqrt{3}$−$\sqrt{6}$+1=$\sqrt{3}$

16.已知α为锐角，且tanα是方程x² + 2x - 3 = 0的一个根，求2sin²α + cos²α - $\sqrt{3}\tan(α + 15^{\circ})$的值。

答案： 解:解方程x²+2x−3=0,得x1=1,x2=−3.
∵tanα＞0,
∴tanα=1.
∴α=45°.
∴2sin²α+cos²α−$\sqrt{3}$tan(α+15°)=2sin²45°+cos²45°−$\sqrt{3}$×$\sqrt{3}$=$-\frac{3}{2}$.

17.对于钝角α，定义它的三角函数值如下：
sinα = sin(180° - α)，cosα = - cos(180° - α)。
（1）求sin120°，cos120°，sin150°的值。
（2）若一个三角形的三个内角的度数比是1∶1∶4，A，B是这个三角形的两个顶点，sinA，cosB分别是关于x的方程4x² - mx - 1 = 0的两个不相等的实数根，求m的值及∠A和∠B的大小。

答案： 解:
(1)根据题意，得sin120°=sin(180°−120°)=sin60°=$\frac{\sqrt{3}}{2}$,cos120°=−cos(180°−120°)=−cos60°=−$\frac{1}{2}$,sin150°=sin(180°−150°)=sin30°=$\frac{1}{2}$.
(2)
∵三角形的内角和为180°,
∴该三角形三个内角的度数分别为30°,30°，120°.
∵sinA,cosB是关于x的方程4x²−mx−1=0的两个不相等的实数根，
∴sinA+cosB=$\frac{m}{4}$,sinAcosB=−$\frac{1}{4}$.
∴sinA与cosB异号.由
(1),得sin120°=$\frac{\sqrt{3}}{2}$,cos120°=−$\frac{1}{2}$,且sin30°=$\frac{1}{2}$,cos30°=$\frac{\sqrt{3}}{2}$,
∴sinA＞0,cosB＜0.
∴∠A=30°,∠B=120°.
∴$\frac{1}{2}$+(−$\frac{1}{2}$)=$\frac{m}{4}$,解得m=0.综上所述，m的值为0,∠A=30°,∠B=120°.