《2025年名校课堂九年级数学下册人教版》

15. 在矩形ABCD中，点O是对角线AC，BD的交点，∠EOF = 90°，OE，OF分别与边AB，BC相交于点E，F，连接EF，BC = kAB(k为常数).
(1)发现问题：如图1，若k = 1，猜想：$\frac{OE}{OF}$ = ______.
(2)类比探究：如图2，k≠1，探究线段OE，OF之间的数量关系，并说明理由.

答案： 解:
(1)1　
(2)$\frac{OE}{OF}$=k.理由:过点O作OM⊥AB于点M,作ON⊥BC于点N.
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=90°,OB=OC=OA.
∴四边形OMBN是矩形.
∴∠MON=90°.
∴∠MOE+∠EON=90°.
∵∠EOF=∠NOF+∠EON=90°,
∴∠NOF=∠MOE.
∵∠OME=∠ONF=90°,
∴△OEM∽△OFN.
∴$\frac{OE}{OF}$=$\frac{OM}{ON}$.
∵OB=OC,ON⊥BC,
∴BN=$\frac{1}{2}$BC.
∴OM=BN=$\frac{1}{2}$BC.同理ON=BM=$\frac{1}{2}$AB,
∴$\frac{OM}{ON}$=$\frac{BC}{AB}$=k.
∴$\frac{OE}{OF}$=k.

16. 如图，点E，F，G分别在正方形ABCD的边AB，BC，AD上，AF⊥EG. 若AB = 5，AE = DG = 1，则BF = ________.

答案： $\frac{5}{4}$

17. (1)如图1，在矩形ABCD中，AD = 7，CD = 4，点E是AD上的一点，连接CE，BD，且CE⊥BD，则$\frac{CE}{BD}$的值为________.
(2)如图2，在四边形ABCD中，∠A = ∠B = 90°，E为AB上一点，连接DE，过点C作DE的垂线交ED的延长线于点G，交AD的延长线于点F，求证：DE·AB = CF·AD.

答案：
(1)$\frac{4}{7}$　
(2)证明:过点C作CH⊥AF，垂足为H,则四边形ABCH为矩形,
∴AB=CH.
∵∠H=∠G=90°,∠CFH=∠DFG,
∴∠FCH=∠FDG=∠ADE.又
∵∠A=∠H=90°,
∴△DEA∽△CFH.
∴$\frac{DE}{CF}$=$\frac{AD}{HC}$.
∴$\frac{DE}{CF}$=$\frac{AD}{AB}$.
∴DE·AB = CF·AD.