《2025年名校课堂九年级数学下册人教版》

1. 综合与实践：
问题情境：数学课上，老师出示了这样一个问题：如图1，在四边形ABCD中，∠ADB = ∠ACB，对角线AC，BD相交于点O. 求证：$\frac{OA}{OB}=\frac{OD}{OC}$.
（1）独立思考：请解答老师提出的问题.
（2）实践探究：求证：△OAB∽△ODC. 小明最近迷上了思维导图，他运用思维导图使解题思维、化归过程显性化，请帮助小明完成解题思路、化归过程分析的思维导图：

（3）问题解决：智慧小组在题中增加条件“延长AD，BC相交于点E”，如图2. 求证：$\frac{BE}{AB}=\frac{DE}{DC}$.

答案： 解：
(1)证明：$\because\angle ADB=\angle ACB,\angle AOD=\angle BOC,\therefore\triangle AOD\backsim\triangle BOC.\therefore\frac{OA}{OB}=\frac{OD}{OC}$.
(2)$\angle AOB=\angle DOC$ 证夹角$\angle AOB$和$\angle DOC$的边对应成比例
(3)证明：在$\triangle AOD$和$\triangle BOC$中，$\angle ADB=\angle ACB,\angle AOD=\angle COB,\therefore\angle DAO=\angle CBO$. 在$\triangle ACE$和$\triangle BDE$中，$\angle DAO=\angle CBO,\angle E=\angle E,\therefore\triangle ACE\backsim\triangle BDE.\therefore\frac{DE}{CE}=\frac{BE}{AE}$. 在$\triangle DEC$和$\triangle BEA$中，$\frac{DE}{BE}=\frac{CE}{AE},\angle E=\angle E,\therefore\triangle DEC\backsim\triangle BEA.\therefore\frac{BE}{AB}=\frac{DE}{DC}$.

2. 综合与实践：
如图1，已知纸片Rt△ABC中，∠BAC = 90°，AD为斜边BC上的高（AD⊥BC于点D）.
观察发现：
（1）请直接写出图中的一组相似三角形.（写出一组即可）

实践操作：
第一步：如图2，将图1中的三角形纸片沿BE折叠（E为AC上的一点），使点A落在边BC上的点F处；
第二步：BE与AD交于点G，连接GF，然后将纸片展平.
猜想探究：
（2）猜想四边形AEFG是哪种特殊的四边形，并证明猜想.
（3）探究线段GF，BE，GE之间的数量关系，并说明理由.

答案： 解：
(1)$\triangle ABC\backsim\triangle DBA$(或$\triangle ABC\backsim\triangle DAC$或$\triangle DBA\backsim\triangle DAC$).
(2)四边形$AEFG$是菱形. 证明：由折叠可知，$AG = GF,EA = EF,\angle ABE=\angle FBE.\because\angle BAC = 90^{\circ},\angle BDA = 90^{\circ},\therefore\angle ABE+\angle AEB = 90^{\circ},\angle FBE+\angle BGD = 90^{\circ}.\therefore\angle AEB=\angle BGD$. 又$\because\angle BGD=\angle AGE,\therefore\angle AEB=\angle AGE.\therefore AG = AE.\therefore AG = GF = EA = EF.\therefore$四边形$AEFG$是菱形.
(3)$GF^{2}=\frac{1}{2}GE\cdot BE$. 理由如下：过点$F$作$FO\perp BE$于点$O,\therefore\angle FOG=\angle BFE = 90^{\circ}.\because$由
(1)得，四边形$AEFG$为菱形，$\therefore GF = EF.\therefore\angle FGO=\angle BEF,OG = OE=\frac{1}{2}GE.\therefore\triangle FGO\backsim\triangle BEF.\therefore\frac{GF}{EB}=\frac{OG}{EF}$，即$GF\cdot EF = OG\cdot BE.\therefore GF^{2}=\frac{1}{2}GE\cdot BE$.