《2025年名校课堂九年级数学下册人教版》

4.(2024.山西)一只杯子静止在斜面上,其受力分析如图所示，重力G的方向竖直向下，支持力F₁的方向与斜面垂直,摩擦力F₂的方向与斜面平行. 若斜面的坡角α = 25°,则摩擦力F₂ 与重力G方向的夹角β的度数为　　　(　　　)

A.155°　
　B.125°　
　C.115°　
　D.65°

答案： C

5.(2024.福建)无动力帆船是借助风力前行的. 如图，这是帆船借助风力航行的平面示意图,已知帆船航行方向与风向所在直线的夹角∠PDA为70°，帆与航行方向的夹角∠PDQ为30°，风对帆的作用力F为400N. 根据物理知识,F可以分解为两个力F₁与F₂,其中与帆平行的力F₁不起作用,与帆垂直的力F₂又可以分解为两个力f₁与f₂,f₁ 与航行方向垂直,被舵的阻力抵消;f₂与航行方向一致,是真正推动帆船前行的动力. 在物理学上常用线段的长度表示力的大小，据此，建立数学模型:F = AD = 400,则f₂ = CD =　________.(单位:N,参考数据:sin40°≈0.64，cos40°≈0.77)

答案： 128

6.(2024.乐山)我国明朝数学家程大位写过一本数学著作《直指算法统宗》,其中有一道与荡秋千有关的数学问题是使用《西江月》词牌写的:
平地秋千未起，踏板一尺离地.
送行二步与人齐，五尺人高曾记.
仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉.
良工高士素好奇，算出索长有几?
词写得很优美，翻译成现代汉语的大意是:有一架秋千,当它静止时,踏板离地1尺,将它往前推进10尺(5尺为一步),秋千的踏板就和某人一样高，这个人的身高为5尺.(假设秋千的绳索拉得很直)
（1）如图1,请根据词意计算秋千绳索OA的长度.
（2）如图2,将秋千从与竖直方向夹角为α的位置OA'释放,秋千摆动到另一侧与竖直方向夹角为β的地方OA",两次位置的高度差PQ=h. 根据上述条件能否求出秋千绳索OA的长度？如果能,请用含α,β和h 的式子表示;如果不能,请说明理由.

答案： 解:
(1)过点A'作A'B⊥OA于点B.设秋千绳索OA的长度为x尺.由题可知,OA=OA'=x尺，AB=5−1=4(尺),A'B =10尺，
∴OB=OA−AB=(x−4)尺.在Rt△OA'B中,由勾股定理,得A{B²+OB²=OA'²,
∴10²+(x−4)²=x²,解得x =14.5.答:秋千绳索0A的长度为14.5尺.
(2)能.由题可知,∠OPA'=∠OQA"=90°,OA'=OA"=OA.在Rt△OA'P 中,cosα=UOAP　.OP=OA'.cosα=OA.cosα.同理可得,OQ =OA".cosβ=OA.cosβ.
∵OQ−OP=h,
∴OA.cosβ−OA .cosa=h.
∴OA.(cosβ−cosa)=h.
∴OA=$\frac{h}{cosβ−cosa}$.