《2025年名校课堂九年级数学下册人教版》

10.(2024·河南)如图，在▱ABCD中，对角线$AC$，$BD$相交于点$O$，$E$为$OC$的中点，$EF// AB$交$BC$于点$F$.若$AB = 4$，则$EF$的长为（ ）


A. $\frac{1}{2}$
B. 1
C. $\frac{4}{3}$
D. 2

答案： B

11.(2023·郑州一模)如图，五线谱由五条等距离的平行横线组成，同一条直线上的三个点$A$，$B$，$C$都在横线上.若线段$AB = 6$，则线段$BC$的长是（ ）

A. 4
B. 3
C. 2
D. 1

答案： B

12.如图，将△ABC沿着$DE$剪成一个小三角形$ADE$和一个四边形$D'E'CB$.若$DE// BC$，四边形$D'E'CB$各边的长度如图所示，则剪出的小三角形$ADE$应是（ ）

答案： C

13.如图，$D$是$\triangle ABC$的边$BC$上一点，连接$AD$，过$AD$上的点$E$作$EF// BD$，交$AB$于点$F$，过点$F$作$FG// AC$，交$BC$于点$G$，已知$\frac{AE}{ED}=\frac{3}{2}$，$BG = 4$.
(1)求$CG$的长.
(2)若$CD = 2$，在上述条件和结论下，求$EF$的长.

答案： 解:
(1)
∵EF//BD,
∴$\frac{AF}{BF}$=$\frac{AE}{ED}$=$\frac{3}{2}$.
∵FG//AC,
∴$\frac{BG}{CG}$=$\frac{BF}{AF}$=$\frac{2}{3}$.
∵BG=4,
∴CG=6.
(2)
∵CD=2,CG=6,
∴DG=CG−CD=4.
∵BG=4,
∴BD=BG+DG=8.
∵$\frac{AF}{BF}$=$\frac{3}{2}$,
∴$\frac{AF}{AB}$=$\frac{3}{5}$.
∵EF//BD,
∴$\frac{EF}{BD}$=$\frac{AF}{AB}$,即$\frac{EF}{8}$=$\frac{3}{5}$.
∴EF=$\frac{24}{5}$.

【例】如图，$AD$是$\triangle ABC$的中线.
(1)若$E$为$AD$的中点，射线$CE$交$AB$于点$F$，则$\frac{AF}{BF}$的值为.
(2)若$E$为$AD$上的一点，且$\frac{AE}{ED}=\frac{1}{k}$，射线$CE$交$AB$于点$F$，则$\frac{AF}{BF}$的值为

答案：
(1)$\frac{1}{2}$　
(2)$\frac{1}{2k}$

【变式1】如图，$CD = 3BD$，$AF = FD$，则$AE:AC=$ 1:4.

答案： 1:5

【变式2】（2024·商丘永城市二模）如图，在$\triangle ABC$中，$D$是$AC$的中点，点$F$在$BD$上，连接$AF$并延长，交$BC$于点$E$.若$BF:FD = 3:1$，$BC = 10$，则$BE$的长为6.

答案： 6