《2025年名校课堂九年级数学下册人教版》

6.（2024·漯河临颍县二模）综合与实践：如何称量一个空矿泉水瓶的质量？
如图所示的是一架自制天平，支点O固定不变，左侧托盘固定在点A处，右侧托盘（点P）可以在横梁BC段滑动（点P不与点B，C重合）. 已知OA = OC = 10 cm，BC = 25 cm，砝码的质量为100 g. 根据杠杆原理，平衡时，左盘砝码质量×OA = 右盘物体质量×OP（不计托盘与横梁质量）.
(1)设右侧托盘中放置物体的质量为y g，OP的长为x cm，求y关于x的函数解析式.
(2)由于一个空的矿泉水瓶太轻无法称量，小组进行如下操作：左侧托盘放置砝码，右侧托盘的点P由点C向点B滑动，向空瓶中加入28 g的水后，发现当点P移动到PC = 15 cm时，天平平衡. 求这个空矿泉水瓶的质量.

答案： 解：
(1) $\because$ 左盘砝码质量 $\times OA =$ 右盘物体质量 $\times OP$，右侧托盘放置 $y\ \text{g}$ 物体，$OP$ 的长为 $x\ \text{cm}$，砝码的质量是 $100\ \text{g}$，$OA = 10\ \text{cm}$，$\therefore100\times10 = xy$。$\therefore y = \frac{1000}{x}$。答：$y$ 关于 $x$ 的函数解析式为 $y = \frac{1000}{x}(10 ＜ x ＜ 35)$。
(2) 设空矿泉水瓶的质量为 $a\ \text{g}$。根据题意，得 $100\times10=(10 + 15)\times(a + 28)$，解得 $a = 12$。答：这个空矿泉水瓶的质量为 $12\ \text{g}$。

7.（2024·南阳二模）模具厂计划生产面积为4，周长为m的矩形模具. 对于m的取值范围，小亮已经能用“代数”的方法解决，现在他又尝试从“图形”的角度进行探究，过程如下：
(1)建立函数模型
设矩形相邻两边的长分别为x，y. 由矩形的面积为4，得xy = 4，即y = $\frac{4}{x}$；由周长为m，得2(x + y) = m，即y = -x + $\frac{m}{2}$. 则满足要求的(x，y)应是两个函数图象在第______象限内交点的坐标.
(2)画出函数图象
函数y = $\frac{4}{x}$(x＞0)的图象如图所示，而函数y = -x + $\frac{m}{2}$的图象可由直线y = -x平移得到. 请在同一直角坐标系中直接画出直线y = -x.
(3)平移直线y = -x，观察函数图象
①当直线平移到与函数y = $\frac{4}{x}$(x＞0)的图象有唯一交点(2,2)时，周长m的值为______.
②在直线平移过程中，交点个数还有哪些情况？请写出交点个数及对应的周长m的取值范围.
(4)得出结论
若能生产出面积为4的矩形模具，则周长m的取值范围为______.

答案： 解：
(1) 一
(2) 图略.
(3) ①8 ②在直线平移过程中，交点个数还有0个、2个两种情况。联立方程组 $\begin{cases}y=-x+\frac{m}{2}\\y=\frac{4}{x}\end{cases}$ 整理，得 $x^2-\frac{m}{2}x + 4 = 0$。ⅰ）有0个交点，即 $\Delta = b^2 - 4ac = (-\frac{m}{2})^2 - 4\times1\times4=\frac{m^2}{4}-16 ＜ 0$，解得 $-8 ＜ m ＜ 8$。又 $\because m ＞ 0$，$\therefore0 ＜ m ＜ 8$；ⅱ）有两个交点，即 $\Delta = b^2 - 4ac = (-\frac{m}{2})^2 - 4\times1\times4=\frac{m^2}{4}-16 ＞ 0$，解得 $m ＜ -8$（舍去）或 $m ＞ 8$。综上所述，当有0个交点时，$0 ＜ m ＜ 8$；当有2个交点时，$m ＞ 8$。
(4) $m\geqslant8$