《2025年名校课堂九年级数学下册人教版》

1.（2023·赤峰改编）为发展城乡经济，建设美丽乡村，某乡对A地和B地之间的一处垃圾填埋场进行改造，把原来A地去往B地需要绕行到C地的路线，改造成可以直线通行的公路AB.如图，经勘测，AC = 6千米，∠CAB = 60°，∠CBA = 37°，求改造后公路AB的长.（精确到0.1千米，参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，$\sqrt{3}$≈1.73）

答案： 解：过点C作CD⊥AB于点D，在Rt△ADC中，AC = 6，∠CAD = 60°，$\cos\angle CAD=\frac{AD}{AC}$，$\sin\angle CAD=\frac{CD}{AC}$，
∴$AD = AC\cdot\cos\angle CAD = 6\times\frac{1}{2}=3$（千米），$CD = AC\cdot\sin\angle CAD = 6\times\frac{\sqrt{3}}{2}=3\sqrt{3}$（千米）. 在Rt△CDB中，∠CBD = 37°，$\tan\angle CBD=\frac{CD}{DB}$，
∴$DB=\frac{CD}{\tan\angle CBD}=\frac{3\sqrt{3}}{\tan37^{\circ}}\approx\frac{3\sqrt{3}}{0.75}=4\sqrt{3}$（千米）.
∴$AB = AD + DB = 3 + 4\sqrt{3}\approx3 + 4\times1.73\approx9.9$（千米）. 答：改造后公路AB的长约为9.9千米.

2.（2023·郑州中原区模拟）2023年3月5日是“向雷锋同志学习”60周年纪念日.某数学小组测量校内雷锋雕像AB（图1）的高度.如图2，小明站在教学楼前，眼睛在距离地面1.5 m的点E处，测得雷锋雕像的最高点A的仰角为32°，小红站在教学楼三楼（每层楼高为3 m），眼睛在距离三楼地面1.6 m的点C处，测得雷锋雕像的最高点A的俯角为45°.已知测量点C，E与教学楼的底部D在同一竖直线上，求雷锋雕像AB的高度.（结果精确到0.1 m，参考数据：sin32°≈0.53，cos32°≈0.85，tan32°≈0.62）

答案： 解：过点A作AF⊥CD于点F，过点E作EG⊥AB于点G. 由题意可知，四边形AFEG和四边形GBDE是矩形，
∴AF = EG，AG = EF，GB = ED. 设AG = EF = x，在Rt△AEG中，$\tan\angle AEG=\frac{AG}{EG}$，即$\tan32^{\circ}=\frac{x}{EG}$.
∴$EG = AF\approx\frac{x}{0.62}$.
∵点C观测点A的俯角为45°，
∴∠CAF = 45°.
∵AF⊥CF，
∴∠CAF = ∠ACF.
∴CF = AF.
∵CD = CF + EF + DE = 7.6，
∴$x+\frac{x}{0.62}+1.5 = 7.6$，解得$x\approx2.3$.
∴$AB = AG + GB = 2.3 + 1.5 = 3.8$(m). 答：雷锋雕像AB的高度为3.8米.

3.（2024·陕西）如图所示，一座小山顶的水平观景台的海拔为1 600 m，小明想利用这个观景台测量对面山顶点C处的海拔，他在该观景台上选定了一点A，在点A处测得点C的仰角∠CAE = 42°，再在AE上选一点B，在点B处测得点C的仰角α = 45°，AB = 10 m.求山顶点C处的海拔.（小明身高忽略不计，参考数据：sin42°≈0.67，cos42°≈0.74，tan42°≈0.90）

答案： 解：过点C作CD⊥AE交AE的延长线于点D，设CD = x m. 在Rt△CBD中，∠CBD = 45° = ∠BCD，
∴BD = CD = x m. 在Rt△CAD中，∠CAD = 42°，
∴$AD=\frac{x}{\tan42^{\circ}}=\frac{x}{0.9}$.
∵AB = 10 m，
∴$\frac{x}{0.9}-x = 10$，解得x = 90.
∴山顶点C处的海拔为1600 + 90 = 1690(m).