《2025年名校课堂九年级数学下册人教版》

15.【跨学科问题】(2024·广元)小明从科普读物中了解到，光从真空射入介质发生折射时，入射角α的正弦值与折射角β的正弦值的比值$\frac{sinα}{sinβ}$叫做介质的“绝对折射率”，简称“折射率”.它表示光在介质中传播时，介质对光作用的一种特征.
(1)若光从真空射入某介质，入射角为α，折射角为β，且cosα=$\frac{\sqrt{7}}{4}$，β = 30°，求该介质的折射率.
(2)现有一块与(1)中折射率相同的长方体介质，如图1所示，点A，B，C，D分别是长方体棱的中点.若光线经真空从矩形A₁D₁D₂A₂对角线交点O处射入，其折射光线恰好从点C处射出，其平面示意图如图2所示.已知α = 60°，CD = 10 cm，求截面ABCD的面积.

答案：
解：
(1) 如图. $\because\cos\alpha=\frac{b}{c}=\frac{\sqrt{7}}{4}$，$\therefore$设$b = \sqrt{7}x$，$c = 4x$。$\therefore a=\sqrt{c^{2}-b^{2}} = 3x$。$\therefore\sin\alpha=\frac{a}{c}=\frac{3x}{4x}=\frac{3}{4}$。$\because\beta = 30^{\circ}$，$\therefore\sin\beta=\frac{1}{2}$。$\therefore$该介质折射率为$\frac{\sin\alpha}{\sin\beta}=\frac{\frac{3}{4}}{\frac{1}{2}}=\frac{3}{2}$。
(2) 由题意可知$\alpha = 60^{\circ}$，该长方体介质的折射率为$\frac{3}{2}$，$\therefore\frac{\sin\alpha}{\sin\beta}=\frac{\sin60^{\circ}}{\sin\beta}=\frac{3}{2}$。$\therefore\sin\beta=\frac{2}{3}\sin60^{\circ}=\frac{2}{3}\times\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{3}}{3}$。$\because$四边形$ABCD$是矩形，$O$是$AD$的中点，$\therefore AD = 2OD,\angle ADC = 90^{\circ}$。又$\because\angle OCD=\beta$，$\therefore\sin\angle OCD=\frac{OD}{OC}=\frac{\sqrt{3}}{3}$。$\therefore$设$OD=\sqrt{3}y,OC = 3y$。$\therefore CD=\sqrt{OC^{2}-OD^{2}}=\sqrt{6}y$。$\therefore\tan\angle OCD=\frac{OD}{CD}=\frac{\sqrt{2}}{2}$。$\therefore OD=\frac{\sqrt{2}}{2}CD = 5\sqrt{2}cm$。$\therefore AD = 2OD = 10\sqrt{2}cm$。$\therefore$截面$ABCD$的面积为$AD\cdot CD = 10\sqrt{2}\times10 = 100\sqrt{2}(cm^{2})$。