《2025年名校课堂九年级数学下册人教版》

11.(2024·连云港)下列网格中各个小正方形的边长均为1,阴影部分图形分别记作甲、乙、丙、丁,其中是相似形的为(　　)

A.甲和乙
B.乙和丁
C.甲和丙
D.甲和丁

答案： D

12.如图，将一张矩形纸片沿两长边中点所在的直线对折.若得到两个矩形都与原矩形相似,则原矩形长与宽的比是(　　)


A.2:1
B.3:1
C.3:2
D.$\sqrt{2}$:1

答案： D

13.若$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=\frac{2}{3}$,且$b + d\neq0$,则$\frac{a + c}{b + d}=$______.

答案： $\frac{2}{3}$

14.已知三条线段的长分别为1cm,2cm,$\sqrt{2}$cm,如果另外一条线段与它们是成比例线段，那么另外一条线段的长为____________.

答案： $\sqrt{2}$cm或$2\sqrt{2}$cm或$\frac{\sqrt{2}}{2}$cm

15.(教材P28习题T5变式)如图,$DE// BC$,BD,CE相交于点A,$DE = 3$,$BC = 9$,$AD = 1.5$,$AB = 4.5$,$AE = 1.8$,$AC = 5.4$.
(1)求$\frac{AD}{AB}$,$\frac{AE}{AC}$,$\frac{DE}{BC}$的值.
(2)求证:$\triangle ADE$与$\triangle ABC$相似.

答案： 解:
(1)$\frac{AD}{AB}=\frac{1.5}{4.5}=\frac{1}{3}$，$\frac{AE}{AC}=\frac{1.8}{5.4}=\frac{1}{3}$，$\frac{DE}{BC}=\frac{3}{9}=\frac{1}{3}$。
(2)证明:
∵DE//BC，
∴∠D=∠B，∠E=∠C。又
∵∠DAE=∠BAC，$\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}=\frac{DE}{BC}$，
∴△ADE与△ABC相似。

16.(教材P28习题T6变式)已知长$AB = 30$，宽$BC = 20$的矩形黑板ABCD.
(1)如图1,若矩形黑板ABCD四周有宽为1的边框区域,则图中所形成的两个矩形ABCD与$A'B'C'D'$相似吗？请说明理由.
(2)如图2,当x为多少时,图中的矩形ABCD与矩形$A'B'C'D'$相似?

答案： 解:
(1)不相似，理由如下:AB = 30，A'B'=30 - 1 - 1 = 28，BC = 20，B'C'=20 - 1 - 1 = 18，而$\frac{28}{30}\neq\frac{18}{20}$，$\frac{28}{20}\neq\frac{18}{30}$，即$\frac{A'B'}{AB}\neq\frac{B'C'}{BC}$，$\frac{A'B'}{BC}\neq\frac{B'C'}{AB}$。故矩形ABCD与矩形A'B'C'D'不相似。
(2)若矩形ABCD与矩形A'B'C'D'相似，则$\frac{A'B'}{AB}=\frac{B'C'}{BC}$或$\frac{A'B'}{BC}=\frac{B'C'}{AB}$，即$\frac{30 - 2x}{30}=\frac{20 - 2}{20}$或$\frac{30 - 2x}{20}=\frac{20 - 2}{30}$，解得x = 1.5或9。故当x = 1.5或9时，矩形ABCD与矩形A'B'C'D'相似。

17.如图,正方形EFGH的四个顶点分别在正方形ABCD的四条边上.若正方形EFGH与正方形ABCD的相似比为$\frac{\sqrt{5}}{3}$,则$\frac{AE}{BE}$（$AE\lt BE$）的值为__________.

答案： $\frac{1}{2}$